Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а)

Построим сечение: 
Соединим точки $M$, $L$ и $M$, $K$, так как они лежат в одних плоскостях. Продлим $ML$ до пересечения с $DC$ в точке $E$ и $MK$ до пересечения с $AD$ в точке $T$. Соединим $T$ и $E$, так как они лежат в плоскости основания $ABC$. 
По теореме Менелая для треугольника $SAD$ и секущей $KM$:
$\frac{SM}{MD}\cdot\frac{DT}{TA}\cdot\frac{AK}{KS}=1$
Подставляя известное отношение, получим:
$\frac{DT}{TA}\cdot\frac{1}{2}=1\\ \frac{DT}{TA}=\frac{2}{1}$
Аналогично, по теореме Менелая для $SDC$ и секущей $ML$: 
$\frac{SM}{MD}\cdot\frac{DE}{EC}\cdot\frac{CL}{LS}=1$
Подставляя известное отношение, получим:
$\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{DE}{CE}=1\\ \frac{DE}{CE}=\frac{2}{1}$
$\angle TAB=\angle ADC=\angle BCE$ как соответственные при $AB||DC$, так как $ABCD$ – параллелограмм
$\angle EBC=\angle ETD$ как соответственные при $BC||AD$, так как $ABCD$ – параллелограмм 
$AT=AD=BC$ 
Значит, треугольники $ATB$ и $CBE$ равны по двум углам и равной стороне:
$\angle TBA+\angle CBE=180-\angle ABC\\ \angle TBA+\angle CBE+\angle ABC=180$
Значит, углы $TBA$, $CBE$ и $ABC$ являются смежными и точка $B$ лежит на прямой $TE$.
 
б) Объем всей пирамиды $SABCD$ равен:
$V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 7=42$
Объем всей пирамиды $SABD$ равен половине всего объема и равен $\frac{42}{2}=21$
Пусть $h_B$ – высота из точки $B$ на плоскость $AKM$
$V_{BAKMD}=\frac{1}{3}\cdot h_B\cdot S_{AKMD}\\  S_{SKM}=\frac{1}{2}SK\cdot SM\cdot \sin\angle KSM$
Так как $SK=\frac{2}{3}AS$ и $SM=\frac{2}{3}SD$, получим:
$S_{SKM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}SA\cdot\frac{1}{2}SD\cdot\sin\angle KSM=\frac{1}{3}S_{ADS}\\ S_{AKMD}=S_{ADS}-S_{SKM}=\frac{2}{3}S_{ADS}\\ V_{BAKMD}=\frac{1}{3}\cdot h_B\cdot\frac{2}{3}S_{ADS}=\frac{2V_{BADS}}{3}=\frac{2}{3}\cdot 21=14$

Ответ: 14