Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) $CO$ - медиана, проведенная из прямого угла $\Rightarrow CO=\dfrac{1}{2}AB = AO = OB$.
1) $AO$ - проекция $AS$ на $(ABC)$ 2) $CO$ - проекция $CS$ на $(ABC)$ 3) $AO=CO\Rightarrow \ SA=SC \Rightarrow$ Ч.Т.Д.
 
б) В $\triangle{ABC}$ по т. Пифагора: $BC = \sqrt{{AB}^{2}-{AC}^{2}} = \sqrt{400-256} = \sqrt{144} = 12$
 
Мы знаем, что $S_{проекции} = S_{фигуры} \cdot \cos{\alpha},$ где $\alpha$ - угол между фигурой и проекцией.
$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{S_{AOC}}{S_{ASC}} =\frac{0,5S_{ABC}}{S_{ASC}} =\frac{0,5\cdot 0,5\cdot 16\cdot 12}{\sqrt{34\cdot 8\cdot 8\cdot 18}} =\frac{1}{\sqrt{17}}$ Площадь треугольника $ASC$ была найдена по формуле Герона.

Ответ: $\arccos\frac{1}{\sqrt{17}}$.