Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) $SA^2-SB^2=AC^2-BC^2$
$CO-проекция~SC \ на \ (ABC)\\ CH\perp AB\Rightarrow \ по \ ТТП \ получаем, \ что \ SC\perp AB\\ \Rightarrow AB\perp (SCH) \Rightarrow AB \perp SH$
В $\triangle{ASH}$ и $\triangle{SBH}$ по т. Пифагора:
$SH^2=SA^2-AH^2=SB^2-BH^2\\ \Rightarrow SA^2-SB^2=AH^2-{BH}^{2}$ В $\triangle{AHC}$ по т. Пифагора: $AH^2=AC^2-CH^2$ В $\triangle{CHB}$ по т. Пифагора: $BH^2=BC^2-CH^2$ Тогда: $SA^2-SB^2=AC^2-CH^2-BC^2+CH^2\\ SA^2-SB^2=AC^2-BC^2\\ Ч.Т.Д.$
б) 

Рассмотрим треугольник $ABC$:

В $\triangle{ACH}$ и $\triangle{CBH}$ по т. Пифагора: $75-x^2=400-(25-x)^2\\ 75-x^2=400-625+50x-x^2\\ 300=50x\Rightarrow x=6\\ CH=\sqrt{75-36}=\sqrt{39}\\ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{39}$
Вернемся к основному рисунку:
$OC=\frac{CH}{2}=\frac{\sqrt{39}}{2}$ В $\triangle{SOC}$ по т. Пифагора: $SO=\sqrt{250-\frac{39}{4}}=\sqrt{\frac{961}{4}}=\frac{31}{2}$ Тогда: $V=\frac{1}{3}\cdot\frac{31}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{39}=\frac{775\sqrt{39}}{12}$

Ответ: $\frac{775\sqrt{39}}{12}$