Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) Пусть $A_1C_1 \cap B_1D_1 = X$. Так как $A_1B_1C_1D_1$ – квадрат, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то $A_1X=XC_1,\ D_1X=XB_1$. 
 
Так как плоскость $DA_1C_1$ пересекает плоскость $BDD_1$ по прямой $DX$, и при этом точка $F$ принадлежит обеим плоскостям, $F\in DX$.

В плоскости $BDD_1$ треугольник $BDF$ подобен треугольнику $D_1XF$ по двум углам ($\angle BDF = \angle D_1XF$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BD$ и $B_1D_1$ и секущей $DX$, $\angle DFB = \angle XFD_1$ как вертикальные). $\Rightarrow BF:FD_1 = DF:FX=BD:XD_1=2:1$ В треугольнике $DA_1C_1$ $DX$ медиана, а раз точка $F$ делит ее в отношении $2:1$, то $F$ - точка пересечения медиан. Тогда $F\in A_1O$, так как $O$ середина стороны $DC_1$ (в квадрате $DCC_1D_1$ диагонали точкой пересечения делятся пополам). $\Rightarrow A_1F:FO=2:1=BF:FD_1$ Ч.т.д.
б) $MN$ - средняя линия треугольника $BAA_1$, значит $MN \parallel BA_1 \parallel CD_1$. 
 
Так как $CDD_1C_1$ квадрат, то его диагонали перпендикулярны $\Rightarrow CD_1 \perp DC_1$.
Прямоугольные треугольники $DA_1D_1$ и $A_1D_1C_1$ равны по двум катетам ($DD_1=CC_1$, $D_1A_1$ общий), значит $DA_1=C_1A_1$, а треугольник $DA_1C_1$ равнобедренный. $A_1O$ - медиана и высота, значит $A_1O \perp DC_1$. 
 
Тогда искомый угол по определению является углом $A_1OD_1$.
Пусть сторона куба равна $x$. Тогда по теореме Пифагора: $CD_1 = \sqrt{DC^2 +DD_1 ^2}=x\sqrt{2} \\ OD_1=\dfrac{CD_1}{2}=\dfrac{x\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \angle A_1OD_1 =\mathrm{arctg} \, \dfrac{A_1D_1}{OD_1}=\mathrm{arctg} \, \dfrac{x}{\frac{x\sqrt{2}}{2}}=\mathrm{arctg} \, \sqrt{2}$

Ответ: б) $\mathrm{arctg} \, \sqrt{2}$ или $\arccos \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ или $\arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{3}$