Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а)

В $(CBD)$ проведем $BN$. Треугольник $BCD \ -$ равносторонний, поэтому $BN \perp CD$. Аналогично $AN \perp CD$ в треугольнике $ACD$. Тогда: $\left\{ \begin{array}{l} CD \perp BN \\ CD \perp AN \end{array} \right. \Leftrightarrow CD \perp \left(BNA\right) \Rightarrow CD \perp MN \ (MN \subset (BNA))$ $BN = AN$, так как треугольники $BCD$ и $ACD$ равны ($ABCD \ -$ правильный тетраэдр), а соответственные элементы в равных треугольниках равны
 
Тогда треугольник $BNA \ -$ равнобедренный с основанием $AB$. Значит $NM$ не только медиана, но еще и высота/биссектриса $\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} MN \perp AB \\ MN \perp CD \end{array} \right.$ 
ч.т.д.
 
б) Построим плоскость сечения:
Так как $\alpha \perp MN$ и $CD \perp MN$, то $\alpha$ содержит прямую, которая параллельна $CD$. Проведем $KQ$ в $(BCD) \parallel CD$
Аналогично проведем $KL$ в $(ABC)$, так как $AB \perp MN$ (а значит $\alpha$ содержит прямую, которая параллельна $AB$)
По тем же соображениям проведем $LP$ в $(ACD)$ и $PQ$ в $(ABD)$
 Получили, что $KLPQ \ -$ сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ $\left\{ \begin{array}{l} KL \parallel AB \parallel QP \\ KQ \parallel CD \parallel LP \\ CD \perp AB \ (AB \subset (BNA)) \end{array} \right. \Rightarrow KLPQ \ - \ параллелограмм, \ который \ является \ прямоугольником$ $\Rightarrow S_{KLPQ} = LK \cdot KQ$ $BC = BK + KC = 4 =$ стороне тетраэдра 
 
$\angle{CKL} = \angle{CBA}$ как соответственные, тогда $\triangle{CKL} \sim \triangle{CBA}$ по двум углам ($\angle{CKL} = \angle{CBA}$ и $\angle{ACB} \ -$ общий) $\frac{AB}{KL} = \frac{BC}{KC} = \frac{4}{3} \\ \Rightarrow KL = 3$ $\angle{BKQ} = \angle{BCD}$ как соответственные, тогда $\triangle{BKQ} \sim \triangle{BCD}$ по двум углам ($\angle{BKQ} = \angle{BCD}$ и $\angle{CBD} \ -$ общий)

$\frac{CD}{KQ} = \frac{BC}{BK} = \frac{4}{1} \\ \Rightarrow KQ = 1$

Окончательно получаем: $S_{KLPQ} = LK \cdot KQ = 3 \cdot 1 = 3$
Ответ: б) 3