Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

Question

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $12$, а боковое ребро $AA_1$ равно $6$. На ребре $B_1C_1$ отмечена точка $L$ так, что $B_1L=2$. Точки $K$, $M$ — середины рёбер $AB$ и $A_1C_1$ соответственно. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $M$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

Accepted Answer

а) Введём координаты: $A(0;0;0)$, $B(12;0;0)$, $C(6;6\sqrt3;0)$, $A_1(0;0;6)$, $B_1(12;0;6)$, $C_1(6;6\sqrt3;6)$. Тогда $K(6;0;0)$, $L(11;\sqrt3;6)$, $M(3;3\sqrt3;6)$.
Плоскость $\alpha$ содержит векторы $\overrightarrow{AC}=(6;6\sqrt3;0)$ и $\overrightarrow{KL}=(5;\sqrt3;6)$. При этом $\overrightarrow{BM}=(-9;3\sqrt3;6)$, и
$\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{AC}=0$, $\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{KL}=0$.
Следовательно, $BM\perp\alpha$.
б) Плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $BC$ и $A_1B_1$ в точках $N(9;3\sqrt3;0)$ и $P(10;0;6)$. Сечение — трапеция $KNLP$. Её основания равны $KN=6$, $LP=2$, а высота равна $4\sqrt3$, поэтому
$S_{KNLP}=\dfrac{6+2}{2}\cdot4\sqrt3=16\sqrt3$.
Нормаль плоскости можно взять $\vec n=(3\sqrt3;-3;-2\sqrt3)$, откуда расстояние от $M$ до $\alpha$ равно $\dfrac{15}{2}$. Тогда
$V=\dfrac{1}{3}\cdot16\sqrt3\cdot\dfrac{15}{2}=40\sqrt3$.
Ответ:
б) $40\sqrt3$.

Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

Призма (2 часть)