Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

Question

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $2\sqrt2$. На рёбрах $AB$, $A_1B_1$ и $B_1C_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=B_1N=C_1K=2$.
а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $(MNK)$ с ребром $AC$. Докажите, что $MNKL$ — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $(MNK)$.

Accepted Answer

а) Возьмём координаты: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt3;0)$, а верхнее основание расположим на высоте $2\sqrt2$. Тогда
$M(2;0;0)$, $N(4;0;2\sqrt2)$, $K(4;2\sqrt3;2\sqrt2)$, $L(2;2\sqrt3;0)$.
Имеем $\overrightarrow{MN}=(2;0;2\sqrt2)$, $\overrightarrow{NK}=(0;2\sqrt3;0)$, $\overrightarrow{KL}=-\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{LM}=-\overrightarrow{NK}$. Кроме того,
$MN=NK=2\sqrt3$ и $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{NK}=0$. Значит, $MNKL$ — квадрат.
б) Плоскость $(MNK)$ имеет уравнение $z=\sqrt2(x-2)$. На ребре $CC_1$ она даёт точку $P(3;3\sqrt3;\sqrt2)$, поэтому полное сечение — пятиугольник $MNKPL$.
$S_{MNKL}=(2\sqrt3)^2=12$. В треугольнике $KPL$: $KP=LP=\sqrt6$, $KL=2\sqrt3$, его высота к $KL$ равна $\sqrt3$. Следовательно,
$S_{KPL}=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt3=3$.
Итак, $S=12+3=15$.
Ответ:
б) $15$.

Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

Призма (2 часть)