Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) Так как функция $\\y=\sin x$ — нечётная, то $\sin (-x){=}{-\sin x}$.
$\cos 2x-3\sin x-2=0$
Преобразуем $\\\cos2x$ по формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x=1-2\sin^2x$.
$1-2\sin^2x-3\sin x-2=0$

$\\-2\sin^2x-3\sin x-1=0\,\,\,\,\,\,|\cdot(-1)$

$\\ 2\sin^2x+3\sin x+1=0$

Введём замену $\\\sin x=t$.

$\\2t^2+3t+1=0$

$\\t_1=-1$; $\\t_2=-\dfrac12$.

Обратная подстановка:

$\\\sin x=-1$, значит, $\\x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in Z$.

$\\\sin x=-\dfrac12$, значит, $\\x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,k\in Z$ или $\\x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m, \, m\in Z$.
б) Отберём корни на промежутке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности.

Получим числа: 

$2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$ и $\\ \dfrac{3\pi}{2}$.

Ответ:

а) $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$; $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,k\in Z$; $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m, \, m\in Z$.

б) $\dfrac{3\pi}{2}$; $\\\dfrac{11\pi}{6}$.