Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) Применим формулу приведения:

$4\cos^2x=ctgx\\ 4\cos^2x=\frac{\cos x}{\sin x}\\ x\neq \pi n,n\in Z$

Домножим обе части на $\sin x$:

$4\cos^2x\cdot \sin x=\cos x\\ 4\cos^2x\cdot \sin x - \cos x=0\\ \cos x(4\cos x\cdot \sin x-1)=0\\ \cos x=0~или~4\cos x\cdot \sin x-1=0\\ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in~Z\\ 4\cos x\cdot \sin x=1\\ 2\sin 2x=1\\ \sin 2x=\frac{1}{2}$

$\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2x=\frac{\pi }{6} +2\pi l,l\in Z\\ 2x=\frac{5\pi }{6} +2\pi m,m\in Z \end{array} \right.$

$x=\frac{\pi}{12}+\pi l,l\in Z\\ x=\frac{5\pi}{12}+\pi m, m\in Z$
б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi;-4\pi]$.

Корни, которые принадлежат промежутку:

$-5\pi + \frac{\pi}{12} = -\frac{59\pi}{12} \\ -5\pi + \frac{5\pi}{12} = -\frac{55\pi}{12} \\ -5\pi + \frac{\pi}{2} =  -\frac{9\pi}{2}$

Ответ: 
а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z, x=\frac{\pi}{12}+\pi l,l\in Z, x=\frac{5\pi}{12}+\pi m, m\in Z$; б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$.