Задание 25 ОГЭ по математике

Решение:

1. $BC+AD = AB + CD$ (признак описанного четырёхугольника)
   $P_{ABCD}=(BC+AD)+(AB + CD)=80$
   $\Rightarrow  BC+AD = AB + CD=\frac{80}{2}=40$

2. Продлим ОН до пересечения с АD в точке К
   Так как $OH\bot BC; BC\parallel AD\Rightarrow OH\bot AD\Rightarrow HK$ -высота трапеции

3. $S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot HK=\frac{40}{2}\cdot HK=20\cdot HK=320$
   $\Rightarrow HK=\frac{320}{20}=16$

4. Проведём $BE\bot AD,CM\bot AD$
   $BE=CM=HK=16 (высоты трапеции)$

5. $\bigtriangleup ABE$ - прямоугольный
   По теореме Пифагора:
   $AE^{2}+BE^{2}=AB^{2}$
   $AE=\sqrt{20^{2}-16^{2}}=\sqrt{144}=12$

6. $\bigtriangleup ABE$ и $\bigtriangleup CMD$ :
   $AB=CD$, $BE=CM$ $\Rightarrow \bigtriangleup ABE=\bigtriangleup CMD$ (по гипотенузе и катету)
   $\Rightarrow AE=MD=12$

7. Пусть $BC=x$
   $BCME$ - прямоугольник $\Rightarrow BC=EM=x\Rightarrow AD=AE+EM+MD=x+12+12=24+x$

8. $AD+BC=40$
   $x+24+x=40$
   $2x=16$
   $x=8$
   $\Rightarrow BC=8\Rightarrow AD=8+24=32$

9. Рассмотрим $\bigtriangleup BOC$ и $\bigtriangleup AOD$ :
   $\angle CAD = \angle ACB$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$ и секущей $АС$)
   $\angle BOC = \angle AOD$ (как вертикальные)
   $\Rightarrow \bigtriangleup BOC\sim \bigtriangleup AOD$ (по двум углам)
   $\frac{BC}{AD}=\frac{OH}{OK}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$
   $OK=4\cdot OH$

$HK=OH+OK=OH+4OH=5OH$
$OH=\frac{HK}{5}=\frac{16}{5}=3,2$

Ответ: $3,2$