Задание 25 ОГЭ по математике

Дано:

$AB=5$
$CD=17$
$\angle AKB=60^o$
$R-?$

Решение:

1. Проведем $BE||AC$
$\Rightarrow ABEC$ - трапеция, вписанная в окружность
Тогда $AB=EC$ (трапеция р/б)

2. $\angle AKB=\angle KBE=60$ - накрест лежащие при $AC||BE$ и секущей BK
3. $BECD$ - впис. четырехуг. 

$\angle DBE+\angle ECD=180$ - признак впис. 4-уг
$\Rightarrow \angle ECD=180-60=120^o$

Проведем $ED$, рассмотрим треугольник $ECD$
По теореме косинусов

$ED^2 = EC^2+CD^2-2 \cdot EC \cdot CD \cdot cos{ECD}$
$ED^2=25+289-2 \cdot 5 \cdot 17 \cdot -\cfrac{1}{2}=25+289+5 \cdot 17=399$
$ED=\sqrt{399}$

По теореме синусов:

$\cfrac{ED}{sin{ECD}}=2R$
$\cfrac{\sqrt{399} \cdot 2}{\sqrt{3}}=2R$
$R=\sqrt{\cfrac{399}{3}}=\sqrt{133}$

Ответ: $\sqrt{133}$