Задание 25 ОГЭ по математике

Дано:

$\bigtriangleup ABC$ - вписанный

АВ=30

АС=100

Окружность (центр О)

$BD\bot AO$
$BD\cap  AC=D$

Найти: CD

Решение:

1. Проведём СК и ВК, где К - точка пересечения АО с окр.

2. $\bigtriangleup AED$ и $\bigtriangleup ACK$ :
   Угол АСК = вписанный и опирается на диаметр $\Rightarrow$ угол АСК=90 $\Rightarrow$ угол АСК = углу AED
   угол EAD - общий
   $\Rightarrow$ $\bigtriangleup AED \sim ACK$ (по двум углам)
   $\bigtriangleup ABE$ и $\bigtriangleup ABK$ :
   Угол АВК = вписанный и опирается на диаметр $\Rightarrow$ угол АВК=90 $\Rightarrow$ угол АВК = углу AEВ
   угол ВАЕ - общий
   $\Rightarrow$ $\bigtriangleup ABE \sim ABK$ (по двум углам)
   $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{AK}\Rightarrow AB^{2}=AE\cdot AK=30^{2}=900\Rightarrow AD=\frac{900}{100}=9$

3. $DC=AC-AD=100-9=91$

Ответ: $91$