Задание 14 ЕГЭ по математике профильной

а) Используем формулы приведения, формулы сложения и основные тригонометрические тождества.
После раскрытия тригонометрических выражений получаем:
$2-2\cos^2x+\sqrt2\sin x=\sqrt2-2\left(-\sin x\right)$.
Используем тождества:
$\sin^2x+\cos^2x=1$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$(\sin x-1)(2\sin x+\sqrt2)=0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.
$\sin x-1=0$, откуда $\sin x=1$.
$2\sin x+\sqrt2=0$, откуда $\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Получаем корни:
$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$.
$x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$.
$x=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;\,-\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Получим числа: $-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{3\pi}{4}$.
Ответ:
а) $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ x=\dfrac{5\pi}{4}+2\pi k;\ x=\dfrac{7\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$;
б) $-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{3\pi}{4}$.