Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) Прямая $𝐴𝐷$ перпендикулярна плоскости $𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$, поэтому проекцией прямой $𝐷𝐸$ на эту плоскость является прямая $𝐴_{1} 𝐸$. Заметим, что в треугольнике $𝐴_{1} 𝐸𝐵_{1}$ медиана $𝐴_{1} 𝐶_{1}$ равна половине стороны $𝐵_{1}𝐸$, поэтому треугольник $𝐴_{1} 𝐸𝐵_{1}$ прямоугольный с прямым углом $𝐴_{1}$. 
 
Тогда:
$\left\{ \begin{array}{l} {DA}_{1} \text{ - перпендикуляр} \\ DE \text{ - наклонная} \\ {EA}_{1} \text{ - проекция} \\ {EA}_{1} \perp A_{1}B_{1} \end{array}\right. \Rightarrow \text{ по ТТП } DE \perp {A}_{1}{B}_{1} \Rightarrow \text{ч.т.д}$
 
б) $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ перпендикулярно $𝐴_{1} 𝐸,𝐴_{1} 𝐵_{1}$ перпендикулярно $𝐴_{1} 𝐷$, следовательно $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ перпендикулярно плоскости $𝐴_{1} 𝐷𝐸$. Так как $𝐴𝐵||𝐴_{1} 𝐵_{1}$, то и $𝐴𝐵$ перпендикулярно $𝐴_{1} 𝐷𝐸$. Значит, $𝐴𝐻$ общий перпендикуляр ($𝐴𝐻$ перпендикулярно $𝐷𝐸$ по построению, а $𝐴𝐻$ перпендикулярно $𝐴𝐵$, т.к. $𝐴𝐻$ принадлежит $𝐴_{1} 𝐷𝐸)$.
 Рассмотрим треугольник $ADE$:

его площадь равна:
$0,5\cdot AH\cdot DE=0,5\cdot AD\cdot A_{1} E$.

Выразим $AH$:
$AH=\frac{AD\cdot A_{1} E}{DE}$ $A_{1} E=4\sqrt{3}$ из треугольника $B_{1} A_{1} E$ по теореме Пифагора, $DE=7$ из треугольника $A_{1} DE$ по теореме Пифагора, тогда:
$AH=\frac{8}{7}\sqrt{3}$ Ответ: $\frac{8}{7}\sqrt{3}$.