Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) 

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей ромба.
По свойству ромба: $AO=OC=0, \! 5AC=5=0, \! 5BC$ и $\angle BOC={90}^{\circ}$
$\displaystyle \begin{cases} CB=2OC\\ \angle BOC={90}^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle BCO={30}^{\circ},\angle CBO={60}^{\circ}$
По теореме Пифагора для треугольника $BOC$: 
$BO=\sqrt{BC^2-OC^2}=5\sqrt{3}$
По теореме косинусов для треугольника $SOB$:
$SB^2=SO^2+BO^2-2SO\cdot OB\cdot\cos\angle SOB\\ \cos\angle SOB=\frac{175+75-200}{2\cdot 5\sqrt{7}\cdot 5\sqrt{3}}=-\frac{3}{\sqrt{21}}=-\cos\angle SOD\\ \Rightarrow \cos\angle SOD=\frac{3}{\sqrt{21}}~как~смежные$
По теореме косинусов для треугольника $SOD$:
$SD^2=SO^2+BD^2-2SO\cdot OD\cdot\cos\angle SOD=175+300-2\sqrt{175}\cdot 5\sqrt{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{21}}=100\\ SD=10$
Тогда обратная теорема выполняется для треугольников $ASD$ и $SCD$:

$AS^2 = AD^2 + SD^2 \\ SC^2 = SD^2 + DC^2$ Значит: $\left\{ \begin{array}{l} SD \perp AD \\ SD \perp DC \end{array} \right. \Leftrightarrow SD \perp (ADC) \Rightarrow SD \perp (ABCD)$
ч.т.д.
 
б) $AC\bot SBD$, так как $AC\bot BD$ (по свойству ромба) и $AC\bot SD$ (из доказанного выше)
Пусть $OH$ перпендикулярна $SB$.
$OH\in SBD\\ AC\bot SBD$
Поэтому $OH$ - искомое расстояние. 
Из прямоугольного треугольника $BOH$:
$OH=BO\cdot\sin\angle OBH=5\sqrt{3}\cdot\sin\angle OBH$
По теореме косинусов для треугольника $SBD$:
$SD^2=SB^2+BD^2-2SB\cdot BD\cdot\cos\angle SBD\\ \cos\angle SBD=\frac{400+300-100}{2\cdot 20\cdot 10\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}$
По основному тригонометрическому тождеству: 
$\sin\angle SBD=\sqrt{1-\left(\frac{3}{2\sqrt{3}}\right)^2}=\frac{1}{2}~(берем~положительное~значение,так~как~угол~острый)\\ OH=5\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$