Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) 

$LM\in ABD\\ KN\in ABC\\ LM||KN~(так~как~LMNK–квадрат)$
Значит, $LM||ABC$, так как $LM||$ прямой, лежащей в плоскости $ABC$.
$\displaystyle \begin{cases} LM||ABC\\ LM||KN\\ ( AB C) \cap ( KLM) =KN\\ ( ABD) \cap ( KLM) =LM \end{cases} \Rightarrow LM||AB||KN$
Следовательно, по теореме Фалеса $\frac{AK}{KC}=\frac{BN}{NC}=\frac{3}{7}$ и треугольники $KNC$ и $ABC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, следовательно: 
$\frac{KC}{AC}=\frac{KN}{AB}=\frac{7}{10}\Rightarrow AB=\frac{10KN}{7}$
Аналогично $DC||MN||LK$, следовательно, по теореме Фалеса $\frac{AK}{KC}=\frac{AL}{LD}=\frac{3}{7}$ и треугольники $ALK$ и $ADC$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, следовательно: 
$\frac{AL}{AD}=\frac{LK}{DC}=\frac{3}{10}\Rightarrow DC=\frac{10KL}{7}=\frac{10KN}{3}~(KL~и~KB~равны~по~свойству~квадрата)\\ \frac{AB}{DC}=\frac{10KN}{7}:\frac{10KN}{3}=\frac{3}{7}$
б) Рассмотрим пирамиду $MKNB$, обозначим ее объем $V_1$, $h_M$ - высота из точки $M$ на плоскость $ABC$.

$V=\frac{1}{3}\cdot h_M\cdot S_{BKN}$
$V$ - объем всей пирамиды $DABC$, $h$ - высота из точки $D$ на плоскость $ABC$
$V=\frac{1}{3}\cdot h_M\cdot S_{ABC}=100~по~условию$
Так как $KN||AB$, то $AK:KC=BN:NC=3:7$ по теореме Фалеса.
Пусть $MM_1$ расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ (обозначим $h_M$), $DH$ - расстояние от точки $D$ до плоскости $ABC$ (обозначим $h$).
Тогда треугольники $BMM_1$ и $DDH$ подобны, поэтому: 
$\frac{MM_1}{DH}=\frac{BM}{BD}=\frac{h_M}{h}=\frac{3}{10}$
Площади подобных треугольников $CKN$ и $CAB$ относятся как коэффициент подобия в квадрате, то есть:
$k^2=\left(\frac{7}{10}\right)^2=\frac{49}{100}\\ V_{MKNC}=\frac{1}{3}\cdot h_M\cdot S_{KNC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{10}h\cdot\frac{49}{100}S_{ABC}=\frac{147}{1000}V=\frac{147}{1000}\cdot 100=\frac{147}{10}\\ V_{MKNC}=\frac{1}{3}\cdot h_c\cdot S_{KMN}\\ V_{CKLM}=\frac{1}{3}\cdot h_c\cdot S_{KLM}\\ S_{KMN}=S_{KLM}~(так~как~KLMN-квадрат),поэтому~V_{MKNC}=V_{CKLM}=\frac{147}{100}\\ V_{MLKNC}=2V_{MKNC}=2\cdot \frac{147}{10}=\frac{147}{5}$
Ответ: $\frac{147}{5}$