Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) 

Пусть $CH$ – высота треугольника $ABC$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, $CH$ – медиана, $AH=HB=\frac{1}{2}AB$.
Так как $AP:PB=3:1$ и $HB=\frac{1}{2}AB$, то $HP:PB=1:1$. 
В треугольнике $CHB$:
1) $HP=PB$
2) $BM=MC$
 Следовательно, $MP$ – средняя линия треугольника $CHB$, $MP||CH$.
$CH$ перпендикулярна $AB$, значит, и $MP$ перпендикулярна $AB$. 
$PM$ – проекция $QP$ на плоскость $ABC$, $M$ и $Q$ - середины $BC$ и $B_1C_1 \Rightarrow MQ \parallel BB_1$, то есть $\perp (ABC) \Rightarrow$ по ТТП $QP$ перпендикулярна $AB$.
$AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $QPM$, значит, $AB$ перпендикулярна плоскости $QPM$.
$\displaystyle \begin{cases} AB\bot PQ\\ \alpha \bot PQ \end{cases} \Rightarrow AB||\alpha$
б) 
$AA_1=QM=5\\ PB=\frac{1}{4}AB=3\\ BM=\frac{PB}{\cos\angle ABC}=3\cdot\frac{5}{3}=5$
По теореме Пифагора для треугольника $BPM$:

$MB^2=PM^2+PB^2\\ PM^2=25-9\\ PM=4$
 
Пусть $MH_1$ перпендикулярна $PQ \Rightarrow$ отношение $PH_1$ к $H_1Q \ -$ искомое, так как $\alpha \perp PQ$
$MH_1$ – высота в прямоугольном треугольнике, поэтому: 
$PH_1\cdot H_1Q=MH^2_1\\ \Rightarrow (\text{разделим обе части на } H_1Q^2) \ \  \frac{PH_1}{H_1Q}=\frac{MH_1^2}{H_1Q^2}=\tg^2\angle PQM=\frac{PM^2}{QM^2}=\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}$.
Ответ: $\frac{16}{25}$.