Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а)

 
Так как пирамида правильная, то в основании лежит квадрат, значит, $AB=BC$, тогда $BK=4$, $KC=2$. Рассмотрим треугольник $SAC$, $M$ – середина $SC$, $O$ – середина $AC$ (диагонали точкой пересечения делятся пополам), тогда $MO$ - средняя линяя треугольника $CSA$, значит, $MO||SA$, так как $MO$ лежит в плоскости $(OMK)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости $SA||(OMK)$, ч.т.д.
 
б) 

Достроим сечение, продлим $KO$ до пересечения с $AD$ в $L$. $LT||AS$, так как $AS||(OMK)$, $T\in SD$. Тогда нам необходимо найти $LT$. Рассмотрим $\Delta OLA$ и $\Delta OKC$, $\angle LAO=\angle KCO$ – накрестлежащие. $\angle LOA=\angle KOC$ – вертикальные, $AO=OC$, значит, $\Delta OLA=\Delta OKC$ по двум углам и стороне между ними. $AL=KC=2$, $LD=4$. Так как $ABCD$ – квадрат, то $AC=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$, $a$ – сторона квадрата. $AO=3\sqrt{2}$. Тогда в прямоугольном треугольнике $SAO$, найдём $AS$ по теореме Пифагора:  $AO^2+SO^2=AS^2\Rightarrow AS^2=18+63=81\Rightarrow AS=9$ Рассмотрим $\Delta DTL$ и $\Delta DSA$, $\angle TDA$ – общий, $\angle DTL=\angle DSA$ – соответственные, значит, $\Delta DTL\sim\Delta DSA$ по двум углам, тогда: 
$k=\frac{DL}{DA}=\frac{TL}{SA}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{TL}{SA}=\frac{2}{3}\Rightarrow TL=\frac{2}{3}SA=\frac{2}{3}\cdot 9=6$
Ответ: 6