Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

a) Да, могло. Если в классе учились 5 девочек и 20 мальчиков, то процентная доля девочек была равна
$\frac{5}{5 + 20} \cdot 100\% = \frac{5}{25} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\% < 21\%$
При этом условие на общее количество детей в классе выполняется, так как $10 < 5 + 20 < 26$.
б) Пусть изначально в классе учились $n$ детей, при этом $d$ из них — девочки. В этом случае процентная доля девочек составляла $\frac{d}{n} \cdot 100\%$.
Мы знаем, что изначальная процентная доля девочек была не более 21%, значит,
$\frac{d}{n} \leq \frac{21}{100} \implies 100d \leq 21n.$
После перевода еще одной девочки в класс количество девочек в классе стало равно $d + 1$, а количество детей — $n + 1$. Тогда в этом случае процентная доля девочек составила $\frac{d+1}{n+1} \cdot 100\%$.
Тогда нам нужно сравнить
$\frac{d + 1}{n + 1} \cdot 100\%$ и $30\%$
$100(d + 1)$ и $30(n + 1)$
$100d + 100$ и $30n + 30$
$100d + 70$ и $30n$
Заметим, что $100d \leq 21n$. Тогда
$100d + 70 \leq 21n + 70$
По условию $10 < n$, значит, $70 < 7n$. Следовательно,
$21n + 70 < 21n + 7n = 28n < 30n$
Таким образом,
$100d + 70 < 30n \implies \frac{d+1}{n+1} < \frac{30}{100}$
то есть после перевода в класс еще одной девочки их процентная доля меньше $30\%$ и не может быть равна $30\%$.
Ответ: нет.
в) Аналогично пункту б) оценим $100d + 100$. В этот раз будем пользоваться тем, что $11 \leq n \leq 25$ (так как $n$ — натуральное и $10 < n < 26$).
$100d + 100 \leq 21n + 100 < 21n + 7n + 23 = 28n + 23 < 28n + 28$
Тогда
$100d + 100 < 28n + 28 \implies \frac{d + 1}{n + 1} < \frac{28}{100} = 28\%$
Значит, процентная доля девочек после перевода строго меньше $28\%$, то есть может быть не более $27\%$.
Проверим, может ли она быть равна 27%. Для этого нужно $\frac{d+1}{n+1} = \frac{27}{100}$. Дробь $\frac{27}{100}$ несократима, поэтому $n+1$ должно быть кратно 100, но $n \leq 25 \implies n+1 \leq 26$, противоречие.
Проверим 26%: $\frac{26}{100} = \frac{13}{50}$ несократима, тогда $n+1$ кратно 50, но $n+1 \leq 26$, противоречие.
Проверим 25%: $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Тогда $\frac{d+1}{n+1} = \frac{1}{4} \implies n+1 = 4k,\ d+1 = k$. При этом $n = 4k-1 \leq 25 \implies k \leq 6.5$, и $d = k-1 \geq 0$. Также исходное условие $\frac{d}{n} \leq \frac{21}{100}$ должно выполняться.
Подберём: $k=3$: $n=11, d=2$. Исходная доля $\frac{2}{11} \approx 18.18\% < 21\%$. Подходит. Тогда после перевода: $\frac{3}{12} = 0.25 = 25\%$.
Значит, наибольшее целое значение — $25\%$.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) $25$