Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Пусть исходные $n$ чисел равны $a_1b_1, a_2b_2, \dots, a_nb_n$.
Тогда их сумму можно вычислить так:
$S_1 = (10a_1 + b_1) + (10a_2 + b_2) + \dots + (10a_n + b_n) = 10(a_1 + a_2 + \dots + a_n) + (b_1 + b_2 + \dots + b_n) = 2376$.
Меняем в их записи первую и вторую цифру местами, тогда сумма новых чисел равна
$S_2 = 10(b_1 + b_2 + \dots + b_n) + (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$.
Пусть $A = a_1 + a_2 + \dots + a_n,\quad B = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.
а) Пусть сумма после операции увеличилась в 3 раза, тогда
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 10B + A = 3 \cdot 2376 \end{cases}$
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 10B + A = 7128 \end{cases}$
Вычтем из второго уравнения первое:
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 10B + A - 10A - B = 7128 - 2376 \end{cases}$
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 9B - 9A = 4752 \end{cases}$
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ B = 528 + A \end{cases}$
$\begin{cases} 10A + 528 + A = 2376 \\ B = 528 + A \end{cases}$
$\begin{cases} 11A = 1848 \\ B = 528 + A \end{cases}$
$\begin{cases} A = 168 \\ B = 696 \end{cases}$
Пусть всего было 168 чисел, в них $a_1 = \dots = a_{168} = 1$.
Пусть $b_1 = \dots = b_{162} = 4,\ b_{163} = \dots = b_{168} = 8$.
Тогда $A = 168 \cdot 1 = 168,\quad B = 162 \cdot 4 + 6 \cdot 8 = 648 + 48 = 696$.
$S_1 = 10A + B = 1680 + 696 = 2376$.
$S_2 = 10B + A = 6960 + 168 = 7128 = 3 \cdot 2376$.
Итого изначально на доске написали $162$ числа $14$ и $6$ чисел $18$.
б) Аналогично пункту а) составим систему:
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 10B + A = 6 \cdot 2376 \end{cases}$
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 10B + A = 14256 \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 10(2376 - 10A) + A = 14256 \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 23760 - 100A + A = 14256 \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 23760 - 99A = 14256 \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 99A = 9504 \end{cases}$
$\begin{cases} A = 96 \\ B = 2376 - 960 = 1416 \end{cases}$
Чисел не более $96$, так как иначе $A > 96 \cdot 1 = 96$.
Следовательно, $B \leq 96 \cdot 9 = 864 < 1416$.
Полученные значения $A$ и $B$ недостижимы. Ответ: нет.
в) Пусть сумма увеличилась в $k$ раз. Тогда
$\begin{cases} 10A + B = 2376 \\ 10B + A = 2376k \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 10(2376 - 10A) + A = 2376k \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 23760 - 100A + A = 2376k \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 23760 - 99A = 2376k \end{cases}$
$\begin{cases} B = 2376 - 10A \\ 99A = 2376(10 - k) \end{cases}$
Заметим, что каждое из написанных чисел увеличилось не более чем в $\frac{91}{19}$ раза, значит, $k \leq \frac{91}{19} < 10$.
Преобразуем второе уравнение: $A = 24(10 - k)$.
Оценим $A$ снизу:
$A = 24(10 - k) \geq 24 \left(10 - \frac{91}{19}\right) = 24 \cdot \frac{99}{19} = \frac{2376}{19} = 125\frac{1}{19} > 125$.
Так как $A$ — целое, то $A \geq 126$.
При этом $k = \frac{240 - A}{24} \leq \frac{240 - 126}{24} = \frac{114}{24} = \frac{19}{4}$.
Приведем пример изначальных чисел, при которых сумма увеличилась в $k = \frac{19}{4}$ раза,
то есть стала равна $2376k = 2376 \cdot \frac{19}{4} = 594 \cdot 19 = 11286$.
Мы выяснили, что $A = 126$.
Пусть изначально на доске было 126 чисел, при этом $a_1 = \dots = a_{126} = 1$.
Тогда $B = 2376 - 10A = 2376 - 1260 = 1116$.
Если взять $b_1 = \dots = b_{123} = 9,\ b_{124} = \dots = b_{126} = 3$, то
$B = 123 \cdot 9 + 3 \cdot 3 = 1107 + 9 = 1116$.
Значит, если изначально на доске было написано $123$ числа $19$ и $3$ числа $13$,
то после операции из условия сумма чисел на доске изменилась с $2376$ на $11286$.

Ответ:

а) Да

б) Нет, не могла

в) $11286$