Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, может. Например, если $A = 625$, $B = 25$, $C = 25$, то получаем равенство:
$625 = 25 \cdot 25$.
б) Заметим, что если $540 \leq A < 600$, то первая цифра числа $A$ равна 5. Также заметим, что вторая цифра числа $A$ не меньше 4. Таким образом, и $B$, и $C$ не меньше 40. Значит,
$A = B \cdot C \geq 40 \cdot 40 = 1600 > 600.$
Тогда указанное равенство не может быть верным. Ответ: нет.
в) Сначала приведем пример: $A = 910$, $B = 91$, $C = 10$, тогда
$B \cdot C = 91 \cdot 10 = 910 = A.$
Так как есть пример на 910, то будем искать наибольшее возможное $A$ среди трёхзначных чисел вида $9bc$ (то есть от 900 до 999).
Пусть $A = 9bc$. Заметим, что если оба мальчика зачеркнули последнюю цифру $c$ или предпоследнюю $b$, то $B$ и $C$ будут как минимум двузначными числами, начинающимися с 9, и тогда $B \cdot C \geq 90 \cdot 90 = 8100 > 999$. Такое нам не подходит. Значит, один из мальчиков вычеркнул первую цифру.
Пусть это был Серёжа. Тогда $B$ — двузначное число, полученное из $A$ вычёркиванием первой цифры, то есть $B = bc = 10b + c$, где $b$ и $c$ — вторая и третья цифры $A$.
Если $b = 0$, то $B = c$ (однозначное), и тогда
$B \cdot C \leq c \cdot 9c \leq 9 \cdot 99 = 891 < 910.$
Значит, $b \geq 1$.
Оценим $B \cdot 90$:
$B \cdot 90 = (10b + c) \cdot 90 = 900b + 90c \geq 900.$
Если Коля не вычеркнул первую цифру (то есть вычеркнул $b$ или $c$), то его число $C$ не больше 99, но не менее 90, если он вычеркнул $c$, или не менее $10b$ (если вычеркнул $b$). Чтобы произведение $B \cdot C$ было трёхзначным (910–999), нужно, чтобы $B$ было невелико. При $b \geq 2$ имеем $B \geq 20$, тогда $B \cdot C \geq 20 \cdot 90 = 1800$ — слишком много. Значит, $b = 1$.
Тогда $B = 10 + c$, и $A = 91c$ (то есть $910$, $911$, …, $919$).
Для $A = 91c$: $B = 10 + c$, $C$ получается вычёркиванием одной из оставшихся цифр. Если Коля вычеркнул $c$, то $C = 91$, тогда произведение $B \cdot C = (10 + c) \cdot 91$. При $c=0$: $10 \cdot 91 = 910$ — подходит. При $c \geq 1$: $(10 + c) \cdot 91 \geq 11 \cdot 91 = 1001 > 999$ — не подходит. Если Коля вычеркнул $b=1$, то $C = 9c$ (двузначное, $90 + c$), произведение $B \cdot C = (10 + c)(90 + c)$. При $c=0$: $10 \cdot 90 = 900 < 910$; при $c=1$: $11 \cdot 91 = 1001 > 999$. Значит, подходит только $c = 0$ и вариант, когда Коля вычеркнул $c$, то есть $C = 91$. Получаем пример $A = 910$.
Теперь рассмотрим случай, когда оба мальчика вычеркнули первую цифру. Тогда $B = C = bc$ (одно и то же двузначное число). Значит, $A = B^2$. Нам нужно $A$ трёхзначное от 900 до 999, тогда $B^2 \geq 900 \implies B \geq 30$. При $B = 30$: $A = 900$, но 900 не подходит (условие $A > 900$? В задаче — наибольшее $A$, можно и 900, но 910 уже больше). При $B = 31$: $A = 961$, и тогда $bc = 61$, но $B = 61$ не равно 31 — противоречие (B должно быть равно $bc$, а $bc$ — это последние две цифры A, то есть 61). Значит, не подходит. При $B = 32$: $A = 1024$ — уже не трёхзначное.
Таким образом, наибольшее возможное $A$ равно $910$.

Ответ:

а) Да, может

б) Нет, не может

в) $910$