Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, Егор может за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см.
Первым ходом он разделит линейку на две части по $8$ см.
Вторым ходом он отрежет от обеих частей по $4$ см и получит четыре части по $4$ см.
Третьим ходом Егор отрежет от всех частей по $2$ см и получит восемь частей по $2$ см.
Четвертым ходом он отрежет от всех частей по $1$ см и получит требуемое.
Ответ: да.
б) Пусть у Егора в какой-то момент есть $x$ частей линейки. Тогда после следующего действия у него будет не более $2x$ частей (каждую часть можно разрезать не более чем на две). Таким образом, за ход Егор максимум может удвоить количество частей. Значит, за 5 ходов у Егора будет не более $2^5 = 32$ частей. Но если линейка длиной в $100$ см поделена на части по $1$ см, то у Егора должно быть $100$ частей.
Так как $100 > 32$, Егор не сможет за 5 ходов разделить линейку длиной в $100$ см на части по $1$ см.
Ответ: нет.
в) Из пункта б) следует, что Егору нужно хотя бы $k$ ходов, где $2^k \geq 300$. Так как $2^8 = 256 < 300$, а $2^9 = 512 \geq 300$, то минимальное возможное число ходов — 9.
Приведем пример на $9$ действий.
Первым действием Егор отрежет часть длиной в $44$ см и получит две части: $256$ см и $44$ см.
Вторым действием Егор отрежет от части в $256$ см часть длиной в $128$ см и получит три части: две по $128$ см и одну $44$ см.
Третьим действием Егор отрежет от частей в $128$ см части длиной в $64$ см и получит пять частей: четыре по $64$ см и одну $44$ см.
Четвертым действием Егор отрежет от всех частей части длиной в $32$ см и получит десять частей: девять по $32$ см и одну $12$ см.
Пятым действием Егор отрежет от частей в $32$ см часть длиной в $16$ см и получит $19$ частей: $18$ по $16$ см и одну $12$ см.
Шестым действием Егор отрежет от всех частей части длиной в $8$ см и получит $38$ частей: $37$ по $8$ см и одну $4$ см.
Седьмым действием Егор отрежет от частей в $8$ см часть длиной в $4$ см и получит $75$ частей по $4$ см.
Восьмым действием Егор поделит каждую из $75$ частей пополам и получит $150$ частей по $2$ см.
Девятым действием Егор поделит каждую из $150$ частей пополам и получит $300$ частей по $1$ см.
Таким образом, за 9 ходов можно получить $300$ частей по $1$ см.
Ответ: наименьшее число ходов — $9$.

Ответ:

а) Да

б) Нет

в) $9$