Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, могло, например, если перекладывали таким образом: 

$101, 102, 103, -\\ 100, 101, 102, 3\\ 99, 100, 101, 6\\ 98, 103, 100, 5\\ 97, 102, 103, 4$

б)  Если в четвертой коробке будут все 306 камней, то остальные окажутся пусты. В каждой коробке количество камней либо уменьшается на 1, либо увеличивается на 3. Значит, после каждого действия меняется четность количества камней в каждой коробке. В 1 и 2 коробках изначально разная четность, значит, она всегда и будет разной. $\Rightarrow$ Нет, не могло, потому что мы хотим получить случай, когда в 1 и 2 коробке по 0 камней (у них одинаковая четность - а это невозможно). 

в) Оценка: У первой и третьей коробки одинаковая четность. У второй и четвертой - тоже (из пункта б). Начальная разница камней в 1 и 3 коробках равна 2 (103-101=2). Если мы вычтем из каждой по одному камню, эта разница не изменится. Если вычтем из одной 1 камень, а в другую прибавим 3 камня, разница увеличится или уменьшится на 4. То есть делимость на 4 разности количества не меняется. Значит, в первой и третьей коробках не может быть одинаковое количество камней (если это верно, то разность количества камней равна 0, но мы выяснили, что она имеет остаток 2 при делении на 4). Аналогично со второй и четвертой коробками: начальная разница 102, причем 102 не делится на 4. Значит, одинакового количества камней в коробках быть не может. Предположим, что в 1 и 3 коробках четное количество камней, а во 2 и 4 - нечетное. Наименьшее количество камней в 3 коробке равно 0, в 4 - 1. Тогда во второй коробке наименьшее нечетное число, не равное 1 (выяснили, что везде разное количество камней), то есть во 2 коробке 3 камня. Значит, максимальное количество камней в первой коробке равно 306-3-0-1=302. 

Предположим, что в 1 и 3 коробках нечетное количество камней, а во 2 и 4 - четное. Наименьшее количество камней в 3 коробке равно 1, в 4 - 0. Тогда во второй коробке наименьшее четное число, не равное 0 (выяснили, что везде разное количество камней), то есть во 2 коробке 2 камня. Значит, максимальное количество камней в первой коробке равно 306-0-1-2=303. 
303>302, построим пример для него (так как ищем наибольшее число камней). Пример: 
$101, 102, 103, 0\\ 100, 101, 102, 3$
Повторяем 25 таких ходов (переносим из 1, 2, 3 коробки по одному камню в 3-ю) 
$\dotsc \\ 76, 77, 78, 75\\ 75, 76, 77, 78\\ 78, 75, 76, 77$
Повторяем 75 таких ходов (из 2, 3, 4 коробки по одному камню в 1-ю) 
$\dotsc \dotsc \\ 300, 1, 2, 3\\ 303, 0, 1, 2$
Получили пример, значит, 303 камня действительно можно получить.

Ответ: а) да, б) нет, в) 303.