Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Пусть сумма всех чисел в первой группе равна A, во второй - B, в третьей - C, и пусть количества чисел равны соответственно $x$, $y$, и $z$. Приписывание цифры к числу увеличивает его в 10 раз и прибавляет эту цифру.

а) Да, это возможно. Например, можно из чисел 2, 7, 3 сделать числа 26, 79, 3.

б) Нет. Учитывая замечание, сделанное в начале решения, получим уравнение $10A+6x+10B+9y+C=19( A+B+C) ~ или~ 6x+9y=9A+9b+18C$ 
что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, $9A\geqslant 9x >6x$ откуда $9B\geqslant 9y$ то есть, $18C< 0$. Противоречие.

в) Рассмотрим частное новой суммы и старой:

$\dfrac{10A+6x+10B+9y+C}{A+B+C} =1+\dfrac{9A+6x+9B+9y}{A+B+C}$

Видно, что C должно быть сделано как можно меньше, поэтому можно считать, что в третьей группе лишь одно число (иначе перенесем одно из чисел из третьей группы во вторую). Аналогично при переносе числа из первой группы во вторую числитель дроби увеличится, а знаменатель не изменится. Значит, и в первой группе должно быть лишь одно число. Далее, если число в третьей группе не минимальное изо всех, то его выгодно обменять местами с минимальным - это не повлияет на знаменатель, но увеличит числитель - а затем заменить на единицу - это уменьшит знаменатель, и не изменит числитель. Имеем: $1+\frac{9A+6x+9B+9y}{A+B+C} =1 + \frac{9A+6x+9B+9y}{A+B+1} =10+\frac{9y-3}{A+B+1}$ При фиксированном y следует сделать знаменатель дроби, как можно меньше. Для этого на роль чисел, составляющих A и B, следует взять наименьшие возможные, то есть $2, 3, \dotsc, y+2$. Получим: $10+\frac{9y-3}{A+B+1} =10+\frac{9y-3}{1+2+3+\cdots +( y+2)} =10+\frac{18y-6}{( y+3)( y+2)}$ Найдем значения полученного выражения при различных $y$:

$y=1:10+\frac{12}{12} =11\\ y=2:10+\frac{30}{20} =11,5\\ y=3:10+\frac{48}{30} =11,6\\ y=4:10+\frac{66}{42} =11\frac{4}{7} < 11,6$

Докажем, что при прочих y ответ тоже будет меньше, чем 11,6. Для этого изучим поведение второго слагаемого. Пусть $f( y) =\frac{18y-6}{( y+3)( y+2)}$. Найдем производную: $f( y) =\frac{6( 23+2y-3y^{2})}{( 2+y)^{2}( 3+y)^{2}}$ При $y\geqslant 4$ найденная производная отрицательна, функция $f$ убывает, а поэтому при $y\geqslant 4$ ее значения меньше, чем значение при $y=4$.
Итак, наибольшее возможное увеличение суммы составляет 11,6 исходной величины и достигается, например, для чисел: 1, 2, 3, 4, 5, которые превращаются в 1, 26, 39, 49, 59 с суммой $174=11,6\cdot 15$.
Ответ: а) да, б) нет, в) в 11,6 раза.