Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Пусть $n$ – количество единиц. То $30 – n$ – количество не единиц. Заметим, что сумма других чисел будет равна $210 – n$. Следовательно, получим неравенство: $\frac{210-n}{2(30-n)}>14$, возьмём пример $n$, чтобы неравенство было верно, берем $n = 24$. Тогда подходят числа: 24 единиц и 6 раз по 31.

б) Здесь сумма всех чисел равна 810. Аналогично пункту (а), получаем два неравенства:
$\displaystyle \begin{cases} \frac{810-n}{2}  >( 30-n) \cdot 12\\ \frac{810-n}{2} < ( 30-n) \cdot 13 \end{cases}$

сведем к одному неравенству, получим: $12<\frac{810-n}{2(30-n)}<13$. Отсюда получаем: 
$\displaystyle \begin{cases} 720-24n< 810-n\\ 810-n< 780-26n \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} 23n >-90\\ 25n< -30 \end{cases}$

данная система не имеет решений. Значит, невозможно. 

в) $\frac{210}{2(30-n)}$ - итог среднего арифметического. Возьмем производную: $f(n)'=(\frac{210-n}{60-2n})'=\frac{-1(60-2n)-(-2)(210-n)}{(60-2n)^2}=\frac{2n-60+420-2n}{(60-2n)^2}=\frac{360}{(60-2n)^2}$, данная функция не равна 0 и она монотонно возрастает, значит, больше 0. Значит: $\frac{360}{(60-2n)^2}>0$, нужно наибольшее значение, где $n$ - наибольшее. Так как $n\ne 30$, начнем перебор с 29, так же возьмем переменную $S$ - сумма не единиц: 

Пусть $n = 29$: $29 + S = 210$, $S = 210 – 29 > 40$ – не подходит.
Пусть $n = 28$: $28 + S = 210$, $S = 210 – 28 > 80$ – не подходит.
Пусть $n = 27$: $27 + S = 210$, $S = 210 – 27 > 120$ – не подходит.
Пусть $n = 26$: $26 + S = 210$, $S = 210 – 26 > 160$ – не подходит.
Пусть $n = 25$: $25 + S = 210$, $S = 210 – 25 = 185 < 200$ - подходит. Сумма 5 чисел может быть, это 5 чисел по 37.
Получаем, что 5 чисел по 37 и 25 чисел по 1. Получаем: $\frac{210-25}{2\cdot 5}=18,5$.

Ответ: а) да, б) нет, в) 18,5.