Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Пусть в день с номером $k$ записано $n$ чисел $3$ и $12 - 2k$ чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна $12+k$. Таким образом, $n$ может быть равным 6.
б) Пусть $n=4$, в первый день на доску записали число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день - двенадцать чисел 4, в третий день - шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день - десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй - 48, в третий - 49, а в четвёртый - 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно $2\frac{12}{13} < 3$, а среднее арифметическое всех записанных чисел равно $4\frac{1}{46} > 4$.

в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 6 чисел. Значит, если $n >5$, то в шестой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 6. Таким образом, $n\leqslant 5$.

Если $n =5$, то в пятый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в четвёртый, третий и второй дни, не превосходят 9, 8 и 7 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 40.

Если $n=4$, то в четвёртый день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 14 и 13 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 48.

Если $n=3$, то в третий день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 19, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 45.

Если $n=2$, то во второй день на доску было записано не более пяти чисел, а их сумма не превосходит 25. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 31.

Если $n=1$, то сумма всех записанных чисел равна 6. Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 48. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 48. Пусть $n=4$, и в первый день быта записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй - 2, 2, 3, 3, 3; в третий - 3, 3, 4, 4; в четвёртый - 5, 5, 5. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 48.

Ответ: а) да, б) да, в) 48.