Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, например, 10 раз по 11 и 40 раз по 1.
 
б) Нет. Заметим, что число дает тот же остаток от деления на 3, что и его сумма цифр. Воспользуемся десятичной записью чисел: $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0} = 10^na_n + 10^{n-1}a_{n-1} + a_0$. 
Тогда все числа, как бы не были расставлены знаки $+$, могут быть представлены с помощью данной записи. Мы также знаем, что $10^na \mod{3} = a$. 
Поэтому сумма всех этих чисел будет давать остаток от деления на 3 такой же, как и просто сумма восьмидесяти единиц, то есть 2, а 150 кратно трем. Противоречие.
 
в) Ясно, что использовать слагаемые большие чем 111 нельзя, а само число 111 можно, но только один раз. Если оно использовано, то нужно набрать ещё 39, это делается использованием числа 11 от 0 до 3 раз и, соответственно, требует 42, 33, 24, 15 единиц.
Если число не использовано, то можно использовать 11 от 0 до 13 раз. Каждое новое использование 11 вместо двух единиц увеличивает сумму на 9, поэтому должно сопровождаться выкидыванием девяти единиц. Следовательно, можно взять также 150, 141, ..., 33 единицы. Общий ответ: числа 150, 141, ..., 15 (прогрессия с разностью 9).
 
Ответ: а) да, б) нет, в) 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15.