Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, могло. Опишем алгоритм получения числа $41$ из числа $65$ при помощи описанных в условии действий:
$65-11\cdot 3=32\\ 32-5\cdot 3=17\\ 17+8\cdot 3=41$

б) Нет, не могло. Пусть исходное число $a$ имеет остаток $b$ при делении на 3. Тогда после операции мы получаем число $a \pm 3\cdot x$, где $x$ - сумма цифр числа $a$. Теперь разделим каждое слагаемое на 3. Получим, что остаток при делении на $3$ у нового числа не изменился. $\Rightarrow$ Из исходного числа можно получить только те числа, остаток у которых при делении на 3 равен остатку у исходного числа. У 65 остаток равен 2, у 43 остаток равен 1 $\Rightarrow$ Противоречие.

в) Нам нужно число, которое при делении на $3$ даёт такой же остаток, как и число $65$. Так как $65$ при делении на $3$ даёт остаток $2$, то найдем наименьшее двухзначное число, которое даёт такой остаток:
Возьмём наименьшее двухзначное число $10$: оно даёт остаток $1$, значит, нам не подходит.
Возьмём число $11$: оно даёт остаток $2$, следовательно, оно нам подходит, приведем пример решения, как из $65$ получить $11$:

$65\rightarrow 98\rightarrow 149\rightarrow 107\rightarrow 83\rightarrow 50\rightarrow 35\rightarrow 11$

Следовательно, нам подходит число $11$.
 

Ответ: 11.