Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

$a)$ Распишем последовательность чисел в порядке возрастания:
$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 < \dots < a_{50} < a_{60}$
По условию сумма любых двух чисел из этого набора больше суммы любых шести чисел из этого набора. Рассмотрим крайний случай, так как если он возможен, то условие выполняется и для всех остальных чисел:
$a_1 + a_2 > a_{55} + a_{56} + a_{57} + a_{58} + a_{59} + a_{60}$
Пусть наш набор чисел начинается с $-400$:
$-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; -341$
Получаем:
$-400 + (-399) = -799$
$-346 + (-345) + (-344) + (-343) + (-342) + (-341) = \left( \frac{-346 + (-341)}{2} \right) \cdot 6 = (-687) \cdot 3 = -2061$
$-799 > -2061$
Да, может:
$-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; -341$
$б)$ Рассмотрим последовательность чисел из пункта a), но вместо $-341$ поставим $400$:
$-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; 400$
Получаем:
$-400 + (-399) = -799$
$-346 + (-345) + (-344) + (-343) + (-342) + 400 = \left( \frac{-346 + (-342)}{2} \right) \cdot 5 + 400 = -1720 + 400 = -1320$
$-799 > -1320$
Да, может:
$-400; -399; -398; -397; -396; \dots; -346; -345; -344; -343; -342; 400$
$в)$ Чтобы выполнялось условие задачи необходимо, чтобы было некое количество отрицательных чисел, поэтому нужно максимизировать сумму, подобрав числа так, чтобы ограничение ещё выполнялось. А сумма будет наибольшей, когда числа находятся в арифметической прогрессией с наименьшим шагом, то есть последовательные числа, находящиеся максимально близко друг к другу.
Запишем последовательность в общем виде:
$a_1 + a_1 + 1 > a_1 + 54 + a_1 + 55 + a_1 + 56 + a_1 + 57 + a_1 + 58 + a_1 + 59$
$2 \cdot a_1 + 1 > 6 \cdot a_1 + 339$
$4 \cdot a_1 < -338$
$a_1 < -84,5 \rightarrow$ максимальное $a_1 = -85$ (так как по условию у нас целые числа)
Рассмотрим последовательность чисел начиная с $-85$:
$-85; -84; -83; -82; -81; \dots; -27; -26$
Проверим условие:
$-85 + (-84) > (-31) + (-30) + (-29) + (-28) + (-27) + (-26)$
Получаем:
$-85 + (-84) = -169$
$(-31) + (-30) + (-29) + (-28) + (-27) + (-26) = \frac{-31 + (-26)}{2} \cdot 6 = -57 \cdot 3 = -171$
$-169 > -171 \rightarrow$ условие выполнено
Найдем сумму чисел для нашей последовательности максимальных чисел:
$(-85 + (-26)) \cdot 2 = -111 \cdot 30 = -3330$
Но если изменить последнее значение с $-26$ на $-25$, получим:
$-85; -84; -83; -82; -81; \dots; -27; -25$
$-169 > -170 \rightarrow$ условие выполнено
Сумма чисел равна:
$(-85 + (-27)) \cdot 2 = -59 + (-25) = -3304 - 25 = -3329$
Получаем, что наибольшая сумма чисел данного набора равна $-3329$.

Ответ:

а) да

б) да

в) $-3329$