Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$ писем, или $16$ писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно $7$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили попарно различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Accepted Answer

Пусть в группе $n$ юношей и $n$ девушек, а $x$ юношей отправили по $5$ писем. Всего писем
$5x+16(n-x)=16n-11x$, где $2\le x\le n-2$.
а) При $7$ письмах каждой девушке получаем $9n=11x$; подходит $n=11,x=9$.
б) Для равного распределения нужно $n\mid11x$, минимально $n=11$.
в) Для различных количеств писем нужна сумма не меньше $0+1+\ldots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}2$. Максимум писем равен $16n-22$, откуда $n\le31$; значение $31$ достижимо.
Ответ:
а) Да;
б) $11$;
в) $31$

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи