Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Есть три коробки: в первой коробке $64$ камня, во второй — $77$, а в третьей коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться $64$ камня, во второй — $59$, а в третьей — $18$?
б) Мог ли в третьей коробке оказаться $141$ камень?
в) В первой коробке оказался $1$ камень. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке? $325$

Accepted Answer

За ход выбранная коробка получает $2$ камня относительно прежнего состояния, а две другие теряют по $1$. Поэтому разности количеств камней в любых двух коробках сохраняются по модулю $3$.
а) Конфигурация $(64,59,18)$ имеет те же разности по модулю $3$, и она достижима.
б) Конфигурация $(0,0,141)$ нарушает инвариант.
в) При $x=1$ во второй коробке минимально возможно $2$ камня, поэтому в третьей максимум $141-1-2=138$.
Ответ:
а) Да;
б) Нет;
в) $138$

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи