Задание 24 ОГЭ по математике

Решение:

Дано:
ABCD - трапеция
LM - средняя линия
т. $F \in LM$
Доказать:
$S_{BFC}+S_{AFD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$
Доказательство:
1) Проведем $EN \perp AD$
$\Rightarrow S_{FBC}=\cfrac{1}{2}EF \cdot BC$
$S_{AFD}=\cfrac{1}{2} FN \cdot AD$
Т.к. LМ - средняя линия, то AL=LB
$\Rightarrow EF=FN=\cfrac{1}{2}EN$
2) $S_{FBC}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} EN \cdot BC$
$S_{AFD} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} EN \cdot AD$
3) $S_{FBC}+S_{AFD}= \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot EN \cdot BC+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot\cfrac{1}{2} EN \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} NE(BC+AD)=\cfrac{1}{2}NE \cdot \cfrac{BC+AD}{2}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.