Задание 24 ОГЭ по математике

Решение:

Дано:
ABCD - трапеция
EM - средняя линия
т. $K \in EM$
Доказать:
$S_{BKC}+S_{AKD}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$
Доказательство:
1) Проведем $NH \perp AD$
$\Rightarrow S_{KBC}=\cfrac{1}{2}NK \cdot BC$
$S_{AKD}=\cfrac{1}{2} KH \cdot AD$
Т.к. EМ - средняя линия, то AE=EB
$\Rightarrow NK=KH=\cfrac{1}{2}HN$
2) $S_{KBC}=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} HN \cdot BC$
$S_{AKD} = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} HN \cdot AD$
3) $S_{KBC}+S_{AKD}= \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot HN \cdot BC+\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot\cfrac{1}{2} HN \cdot AD=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{2} NH(BC+AD)=\cfrac{1}{2}NH \cdot \cfrac{BC+AD}{2}=\cfrac{1}{2}S_{ABCD}$, ч.т.д.