Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.

Доказать: $AB \perp IJ$ 1. Проведем IA, IB - радиусы окр. $\Rightarrow IA=IB$ 2. Проведем JA=JB - радиусы т. J равноудалена от концов отрезка AB т. I равноудалена от концов отрезка AB $\Rightarrow IJ$ - серединный перпендикуляр к AB $\Rightarrow IJ \perp AB$ , ч.т.д.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Дано: $\angle ABC >90^o$ $AA_1 \perp BC$ $CC_1 \perp AC$ Доказать: $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ Доказательство: Опишем окружность около $\triangle AA_1C$ $\angle AA_1C =90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AC$ - диаметр Опишем окружность около $\triangle AC_1C$, т.к. $\angle AC_1C=90^o$ (вписанный) $\Rightarrow AC$ - диаметр $\angle C_1A_1C=\angle C_1AC$ - опираются на одну дугу $CC_1$ $\angle A_1BC_1=\angle ABC$ - вертикальные Тогда $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ - по 2-ум углам, ч.т.д.

Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что $L$ – середина $AB$.

Дано: ABCD - параллелограмм CL - биссектриса $\angle C$ DL - биссектриса $\angle D$ Т. $L \in AB$ Доказать: AL=LB Доказательство: 1) $\angle ALD = \angle LDC$ - накрест лежащие при AB// CD и секущей LD Т.к. $\angle ADL= \angle LDC$ - т.к. DL - биссектриса $\Rightarrow \angle ADL = \angle ALD$ $\Rightarrow \triangle ADL$ - равнобедренный $\Rightarrow AD=AL$ 2) $\angle BLC = \angle LCD$ - накрест лежащие при AB//CD и секущей CL Т.к. $\angle BCL = \angle LCD$ (DL - биссектриса) $\Rightarrow \angle BLC = \angle BCL$ $\triangle LBC$ - равнобедренный; ВС=СМ 3) AD=BC (ABCD - параллелограмм) $\Rightarrow AD=BC=AL=LB$, ч.т.д.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.

Дано: ABCD четырехугольник $\angle DAC=\angle DBC$ Доказать: $\angle CDB = \angle CAB$ Доказательство: Т.к. четырехугольник ABCD выпуклый и $\angle DAC= \angle DBC$, около ABCD можно описать окружность. $\Rightarrow \angle CDB= \angle CAB$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC, ч.т.д.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

Доказательство: Дано: $ABCD$ - параллелограмм $AC$ пересекает $BD$ в точке $O$ $O \in LN$ $LN$ пересекает $BC$ в т. $L$ $LN$ пересекает $AD$ в т. $N$ Доказать: $CL=AN$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle CLO$ и $\triangle ANO$ $\angle COL = \angle AON$ - вертикальные $AO=OC$ - св-во параллелограмма $\angle OAN = \angle OCL$ - накрест лежащие при $BC//AD$ и секущей AC $\Rightarrow \triangle AON = \triangle COL$ - по стороне и 2-ум прилежащим к ней углам $\Rightarrow CL=AN$ - соответственные элементы, ч.т.д.

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, № 24 Геометрическая задача на доказательство с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания, выбрав вид экзамена, название предмета, номер или тему. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 151432 балла
Окружности
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.
id 151572 балла
Треугольники
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$ . Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.
id 151752 балла
Четырёхугольники
Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$ , лежащей на стороне $AB$ . Докажите, что $L$ – середина $AB$ .
id 151962 балла
Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.
id 152202 балла
Четырёхугольники
Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.