Банк заданий
ОГЭ по математике Задание №24 Геометрическая задача на доказательство

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые AB и IJ перпендикулярны.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны.

Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что $L$ – середина $AB$.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.

Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что отрезки $AE$ и $CF$ равны.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что отрезки $BP$ и $DQ$ равны.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $M$ – середина стороны $AD$. Докажите, что $CM$ – биссектриса угла $BCD$.

Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $K$ – середина стороны $BC$. Докажите, что $AK$ – биссектриса угла $BAD$.

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$. Точка $L$ – середина стороны $AB$. Докажите, что $DL$ – биссектриса угла $ADC$.

Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC$. Точка $N$ – середина стороны $CD$. Докажите, что $BN$ – биссектриса угла $ABC$.

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что $M$ – середина $CD$.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что $M$ – середина $AD$.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что $K$ – середина $BC$.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади параллелограмма.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $AEB$ и $CED$ равна половине площади параллелограмма.

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $AFB$ и $CFD$ равна половине площади параллелограмма.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от прямых $AB$, $AD$ и $CD$.

Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $CD$. Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $AD$.

Биссектрисы углов $C$ и $D$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что точка $P$ равноудалена от прямых $BC$, $CD$ и $AD$.

Биссектрисы углов $B$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что точка $O$ равноудалена от прямых $AB$, $BC$ и $CD$.