Банк заданий
ОГЭ по математике Задание №24 Геометрическая задача на доказательство

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажите, что площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны.

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$. Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.

Точка $E$ – середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $ECD$ равна половине площади трапеции.

Точка $K$ – середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. Докажите, что площадь треугольника $KAB$ равна половине площади трапеции.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ равна половине площади трапеции.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $K$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BKC$ и $AKD$ равна половине площади трапеции.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади трапеции.

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $M$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BMC$ и $AMD$ равна половине площади трапеции.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $4$ и $64$, $BD = 16$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $7$ и $28$, $BD = 14$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $5$ и $45$, $BD = 15$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $2$ и $32$, $BD = 8$. Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AD$ и $BC$ четырёхугольника пересекаются в точке $K$. Докажите, что треугольники $KAB$ и $KCD$ подобны.

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$. Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $AA_1B_1$ и $ABB_1$ равны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $CC_1A_1$ и $CAA_1$ равны.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.

Окружности с центрами в точках $E$ и $F$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что $CD$ и $EF$ перпендикулярны.