Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$пересекаются в точке $M$. Найдите $MC,$ если $AB = 13$, $СD = 65$, $AС = 42$.

Дано: $AB||CD$ $AC$ пересекает $BD$ в точке $М$ $АВ=13$ $CD=65$ $АС=42$ $МС-?$ Решение: 1) Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle DMC$ $\angle MDC =\angle MBA$ $-$накрест лежащие при $AB||CD$ и секущей $BD$ $\angle AMB = \angle DMC$ $-$вертикальные Тогда $\triangle AMB \sim \triangle DMC$ $-$ по 2-ум углам Пусть $МС=х$, тогда $АМ=АС-МС=42-х$ $\cfrac{AB}{DC}=\cfrac{AM}{MC}$ $\cfrac{13}{65}=\cfrac{42-x}{x}$$-$ сократим на $5$ $x=5(42-x)$ $x=210-5x$ $6x=210$ $x=35$

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $35$ и $125$. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Дано: $\triangle ABC$ $-$ прямоугольный $АС=35$ $AB=125$ $CH \perp AB$ Найти: $СН-?$ Решение: $1. AC^2+BC^2=AB^2$ $-$ по теореме Пифагора $BC=\sqrt{AB^2-AC^2} = \sqrt{125^2-35^2}=\sqrt{14400}=120$ 2. $S_{ABC}=\cfrac{1}{2}CH \cdot AB$ 3. $\triangle CHB:$ $\sin{B}=\cfrac{CH}{BC}$ $\triangle ABC:$ $sin{B}=\cfrac{AC}{AB}$ $\cfrac{CH}{BC} = \cfrac{AC}{AB}$ $CH = \cfrac{AC \cdot BC}{AB} = \cfrac{35 \cdot 120}{125} =33,6$

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 12$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $8$ и $6$.

Дано: $AB,CD$$-$ хорды $АВ=12$ $OH \perp AB$ $OH=8$ $OK=6$ $OK \perp CD$ Найти: $CD - ?$ Решение: 1) Проведём $АО=ОВ=ОС=OD$$-$ радиусы $\triangle AOB$ $-$ равнобедренный 2) $\triangle AOB$: т.к. $OH \perp AB$, $ОН$ - высота, медиана и биссектриса (свойство равнобедренного треугольника) Тогда $АН=НВ=12:2=6$ $\triangle OHB$ $-$прямоугольный Тогда по теореме Пифагора: $OH^2+HB^2=OB^2$ $OB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ 3) $\triangle KOD$ $-$прямоугольный По теореме Пифагора: $KD^2=OD^2-OK^2$ $KD=\sqrt{100-36}=8$ $\triangle COD$ $-$равнобедренный $OK \perp CD$, тогда $ОК$ $-$ медиана, высота, биссектриса $\Rightarrow CK=KD=8$ $СD=8+8=16$ Ответ: 16

Прямая $AD$, перпендикулярная медиане $BM$ треугольника $ABC$, делит её пополам. Найдите сторону $AC$, если сторона $AB$ равна $4$.

Дано: $АВС -$треугольник $АВ = 4$ $ВМ -$медиана Найти: $АС - ?$ Решение: Т.к высота $AD$, перпендикулярная медиане $BM$, делит ее пополам, то треугольник $ABM$ является равнобедренным. $\Rightarrow AB = AM = 4$ Т.к. $BM$ - медиана, то $AM$=$MC$ Тогда $АС = 2АМ = 8$ Ответ: 8

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD=48, BC=16, CF:DF=5:3$.

Дано: $ABCD -$ трапеция $AD=48$ $BC=16$ $CF:DF =5:3$ Найти: $EF - ?$ Решение: Пусть $CF = 5x$, тогда $DF = 3x$ Проведем $ВН||CD$ $AH = AD - BC = 48 - 16 = 32$ $BH = 5x + 3x = 8x$ $\triangle EBK$ и $\triangle ABH$: $\angle B$ $-$общий $\angle BAH, \angle BEK$ $-$соответственные $\Rightarrow \triangle EBK \sim \triangle ABH$ $\cfrac{EK}{AH} = \cfrac{BK}{BH}$ $\cfrac{EK}{32} = \cfrac{5x}{8x}$ $EK = \cfrac{32 \cdot 5}{8} = 20$ $EF = EK + KF = 20 + 16 = 36$ Ответ: $36$

Открытый Банк заданий ОГЭ по математике, № 23 Геометрическая задача на вычисление с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания, выбрав вид экзамена, название предмета, номер или тему. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 151422 балла
Треугольники
Отрезки $AB$ и $DC$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $MC,$ если $AB = 13$ , $СD = 65$ , $AС = 42$ .
id 151562 балла
Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны $35$ и $125$ . Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
id 151742 балла
Окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$ , если $AB = 12$ , а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно $8$ и $6$ .
id 151952 балла
Треугольники
Прямая $AD$ , перпендикулярная медиане $BM$ треугольника $ABC$ , делит её пополам. Найдите сторону $AC$ , если сторона $AB$ равна $4$ .
id 152192 балла
Трапеция
Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$ , пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ , если $AD=48, BC=16, CF:DF=5:3$ .