Задание 24 ОГЭ по математике

Question

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m : n$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m : n$.

Accepted Answer

Решение:
Дано:
$\cfrac{IP}{PJ}=\cfrac{m}{n}$
Доказать:
$\cfrac{d_1}{d_2}=\cfrac{m}{n}$
Доказательство:
1. Проведем IM - радиус; JN - радиус
$\Rightarrow IM \perp MN$ - св-во касательной
$\Rightarrow JN \perp MN$ - св-во касательной
$\angle IPM = \angle NPJ$ - вертикальные
$\triangle POK \sim \triangle OEQ$
$\cfrac{PK}{EQ}=\cfrac{PO}{OQ}=\cfrac{a}{b}$
$\Rightarrow \cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{a}{b}$
$\cfrac{d_1}{d_2}=\cfrac{2R_1}{2R_2}=\cfrac{2m}{2n}=\cfrac{m}{n}$, ч.т.д.