Задание 24 ОГЭ по математике

Question

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a : b$. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $a : b$.

Accepted Answer

Решение:
Дано:
$\cfrac{PO}{OQ}=\cfrac{a}{b}$
Доказать:
$\cfrac{d_1}{d_2}=\cfrac{a}{b}$
Доказательство:
1. Проведем РК - радиус; QE - радиус
$\Rightarrow PK \perp KE$ - св-во касательной
$\Rightarrow QE \perp KE$ - св-во касательной
$\angle POK = \angle EOQ$ - вертикальные
$\triangle POK \sim \triangle OEQ$
$\cfrac{PK}{EQ}=\cfrac{PO}{OQ}=\cfrac{a}{b}$
$\Rightarrow \cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{a}{b}$
$\cfrac{d_1}{d_2}=\cfrac{2R_1}{2R_2}=\cfrac{2a}{2b}=\cfrac{a}{b}$ , ч.т.д.