Задание 23 ОГЭ по математике

Question

Окружность пересекает стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $K$ и $P$ соответственно и проходит через вершины $B$ и $C$. Найдите длину отрезка $KP$, если $AP = 9$, а сторона $BC$ в $3$ раза меньше стороны $AB$.

Accepted Answer

Дано:
AP=9
AB=3BC
PK-?
Решение:
1) Пусть ВС=х, тогда АВ=3х
2) Пусть $\angle PKA= \alpha$, тогда $\angle PKB=180-\alpha$ - смежный
РКВС - вписанный четырехугольник, поэтому $\angle PCB+ \angle PKB=180$ - признак вписанного четырехугольника
$\Rightarrow \angle C= 180-\angle PKB =180-(180-\alpha)=180-180+\alpha =\alpha$
$\angle A$ общий для треугольников РКА и АВС
$\Rightarrow \triangle APK \sim \triangle ABC$ по 2-ум углам
$\cfrac{AP}{AB}=\cfrac{PK}{BC}$
$\cfrac{9}{3x}=\cfrac{PK}{x}$
$PK=3$

Задание 23 ОГЭ по математике

Окружности