Задание 23 ОГЭ по математике

Решение:

Дано:

$\triangle ABC$

AB = 20

$S_{ABC} = 50\sqrt{2}$

Найти: 

$\angle{A} , \angle{B} , \angle{C}$

Решение:

CM - медиана, проведенная к гипотенузе

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

$\Rightarrow CM = 10$

Медиана делит треугольника два равновеликих треугольника, поэтому:

$\cfrac{1}{2} S_{ABC} = S_{AMC} = S_{CMB} = \cfrac{1}{2} MC \cdot MB \cdot \sin{CMB}$

$\sin{CMB} = \cfrac{\cfrac{1}{2} S_{ABC}}{\cfrac{1}{2} MC \cdot MB} = \cfrac{S_{ABC}}{10 \cdot 10} = \cfrac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, треугольник АВС - равнобедренный $(\angle{CMB} = 45^o)$

Треугольник равнобедренный, поэтому $\angle{MCB} = \angle{MBC} = \cfrac{180^o-45^o}{2} = 67,5^o$

Поэтому $\angle CAB = 90-67,5 = 22,5^o$