Задание 23 ОГЭ по математике

Решение:

Дано:

$\triangle ABC$

AB = 36

$S_{ABC} = 162 \sqrt{3}$

Найти: 

$\angle{A} , \angle{B} , \angle{C}$

Решение:

CM - медиана, проведенная к гипотенузе

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

$\Rightarrow CM = 18$

Медиана делит треугольника два равновеликих треугольника, поэтому:

$\cfrac{1}{2} S_{ABC} = S_{AMC} = S_{CMB} = \cfrac{1}{2} MC \cdot MB \cdot \sin{CMB}$

$\sin{CMB} = \cfrac{\cfrac{1}{2} S_{ABC}}{\cfrac{1}{2} MC \cdot MB} = \cfrac{S_{ABC}}{18 \cdot 18} = \cfrac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, треугольник АВС - равнобедренный $(\angle{CMB} = 60^o)$

Треугольник равнобедренный, поэтому $\angle{MCB} = \angle{MBC} = \cfrac{180^o-60^o}{2} = 60^o$

Поэтому $\angle CAB = 90-60 = 30^o$