Задание 23 ОГЭ по математике

Решение:

По свойству медианы известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольников. Таким образом, $S_{ABM} = S_{BMC} = \cfrac{ABC}{2}$.

По свойству биссектрисы АР имеем: $\cfrac{AM}{AB} = \cfrac{KM}{KB}$

Из условия задачи известно, что $\cfrac{AC}{AB} = \cfrac{7}{10}, \cfrac{AM}{MC} = \cfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \cfrac{2AM}{AB} = \cfrac{7}{10}$

$\Rightarrow \cfrac{AM}{AB} = \cfrac{7}{20} = \cfrac{KM}{KB}$

$S_{AKM} = \cfrac{1}{2} \cdot h \cdot KM = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{7}{20} BK \cdot h$

Так как высота h является общей для треугольников AKM и ABK, имеем:

$S_{AKM} = \cfrac{7}{20} S_{AKB}$

$S_{ABM} = S_{ABK} + S_{AKM} = S_{ABK} + \cfrac{7}{20} S_{ABK} = 2 \cdot \cfrac{27}{20} S_{ABK} = \cfrac{27}{10} S_{ABK}$

$\cfrac{S_{AKM}}{S_{ABC}} = \cfrac{\cfrac{7}{20}}{\cfrac{27}{10}} = \cfrac{7}{54}$