Задание 25 ОГЭ по математике

Решение:
Дано:
ABCD - трапеция
AB=CD
$P_{ABCD}=220$
$S_{ABCD}=2420$
$AC \cap BD=O$
$OH \perp BC$
Найти:
OH-?
Решение:
1. AB+CD=BC+AD (признак описанного 4-угольника)
2. $P_{ABCD}=(AB+CD)+(BC+AD)=220$
$AB+CD=BC+AD=\cfrac{P_{ABCD}}{2}=110$
3. $AB=CD$ (трапеция равнобедренная)
$AB=CD=\cfrac{110}{2}=55$
4. Проведем OH за точку О
$OH \cap AD=K$
Т.к. $OH \perp BC, BC||AD \Rightarrow OH \perp AD$
HK - высота трапеции
5. $S_{ABCD}=\cfrac{BC+AD}{2} \cdot HK=2420$
$2420=55HK$
$HK=\cfrac{2420}{55}=44$
6. Проведем $BE \perp AD , CM \perp AD$
$BE=CM=HK=44$ (высоты ABCD)
7. $\triangle ABE$ и $\triangle CMD$
AB=CD
BE=CM
$\Rightarrow \triangle ABE=\triangle CMD$ - по гипотенузе и катету
$AE^2+BE^2=AB^2$ - по т. Пифагора
$AE^2=AB^2-BE^2=55^2-44^2=33^2$
$AE=33$
8. Пусть BC=x; AD=AE+MD+EM (EM=BC т.к. BCME - прямоугольник)
AD=33+33+x=66+x
BC+AD=x+66+x=110
2x+66=110
2x=44
x=22
9. $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$
$\angle CAD=\angle ACB$ (накрест лежащие при BC||AD и секущей AC)
$\angle DBC=\angle ADB$ (накрест лежащие при BC||AD и секущей BD)
$\Rightarrow \triangle BOC \sim \triangle AOD$
$\cfrac{BC}{AD}=\cfrac{OH}{OK}=\cfrac{22}{88}=\cfrac{1}{4}$
AD=66+22=88
$OK=4OH$
HK=OH+OK=OH+4OH=5OH=44
$OH=\cfrac{44}{5}=8,8$
Ответ: $OH=8,8$