Введение

Вспомни, какое арифметическое действие всегда отличается от остальных и любит всё усложнять? Возьмём те же дроби: на знаменателе ограничение; чтобы разделить обыкновенные дроби между собой, нужно «перевернуть» делитель; десятичную дробь вообще нельзя делить на десятичную дробь, и нужно делать переход к натуральному делителю!

Операция деления… вот такая она. В производных она тоже не стала изменять своим принципам…

Подготовка к экзаменам в 100балльном репетиторе

Производная деления функций

Пусть есть некоторые элементарные функции $ f(x) $ и $ g(x) $ и $ q(x) = f(x) : g(x) = \frac{f(x)}{g(x)}. $ Если вдруг ты думаешь, что при делении функций просто нужно взять производную от каждой из них и поделить, то нет. Невероятно, но по определению производной формулируется следующее правило деления:

{(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g (x)^{2}}, g (x) \neq 0

Числитель похож на правило умножения, но со знаком «минус», а вот знаменатель безо всякой производной возводится в квадрат. Если не веришь, распиши по определению через приращение и убедись в этом. А после приступай к рассмотрению примеров!

Пример 1. Вычислить производную функции $(f (x) = \frac{1}{x} .$

Ты, конечно, уже знаешь ответ, но давай воспользуемся правилом деления, чтобы убедиться в нём?

$(f^{'} (x) = (\frac{1}{x}) ’ = \frac{1 ’ \cdot x - 1 \cdot x ’}{x^{2}} = \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}} = - \frac{1}{x^{2}} .$

Ответ: $- \frac{1}{x^{2}} .$

Пример 2. Вычислить производную функции $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x} .$

Воспользуемся правилом деления

$f^{'} (x) = (\frac{x^{2} + 4}{x}) ’ = \frac{(x^{2} + 4) ’ \cdot x — (x^{2} + 4) \cdot x ’}{x^{2}} = \frac{2 x \cdot x — (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 x^{2} — x^{2} — 4}{x^{2}} = \frac{x^{2} — 4}{x^{2}} .$

Ответ: $\frac{x^{2} — 4}{x^{2}} .$

Пример 3. Вычислить производную функции $f (x) = \frac{6}{x^{2}} — 6 x + 6 .$

Воспользуемся правилами дифференцирования:

$f^{'} (x) = (\frac{6}{x^{2}} — 6 x + 6) ’ = \frac{6' \cdot x^{2} — 6 \cdot (x^{2}) ’}{x^{4}} — 6 = \frac{0 — 6 \cdot 2 x}{x^{4}} — 6 = - \frac{12 x}{x^{4}} — 6 = - \frac{12}{x^{3}} — 6 .$

Ответ: $- \frac{12}{x^{3}} — 6 .$

Пример 4. Вычислить производную функции $f (x) = 6 \tan x — 6 x + \frac{6}{π} .$

Воспользуемся правилами дифференцирования, будем считать, что не помним чему равна производная тангенса и, конечно, не забудем, что — просто число:

$f^{'} (x) = (6 tg x — 6 x + \frac{6}{π}) ’ = 6 (\frac{\sin x}{\cos x}) ’ — 6 + 0 = 6 \frac{\sin x ’ \cdot \cos x — \cos x ’ \cdot \sin x}{\cos^{2} x} — 6 = 6 \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x} — 6 = \frac{6}{\cos^{2} x} — 6 .$