Введение
Задание №9 в ЕГЭ по математике профильного уровня посвящено вычислениям по формулам и часто содержит задачи, сводящиеся к решению показательных уравнений. Эти задачи имеют ярко выраженное прикладное значение — они моделируют реальные физические, химические или экономические процессы. Классический пример, который регулярно встречается на экзамене, — расчёт по формуле, описывающей процесс радиоактивного распада.
Разбор примера
Условие задачи:
Масса радиоактивного изотопа уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{−\frac{t}{T}}$. В начальный момент времени масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 минуты. Через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг?
Шаг 1: Записываем известные данные
Из условия мы имеем:
- Начальная масса m₀ = 96 мг.
- Период полураспада T = 3 мин.
- Конечная масса m(t) = 3 мг.
- Неизвестное время t — это то, что нам нужно найти.
Шаг 2: Подставляем известные значения в формулу
Подставляем все числа в нашу формулу: $3 = 96 \cdot 2^{−\frac{t}{3}}$
Мы получили классическое показательное уравнение.
Шаг 3: Решаем уравнение
Действуем по алгоритму: упрощаем, чтобы слева и справа от знака равенства были степени с одинаковым основанием.
- Избавляемся от коэффициента. Разделим обе части уравнения на 96:
$\frac{3}{96} = 2^{−\frac{t}{3}}$
$\frac{1}{32} = 2^{−\frac{t}{3}}$ - Представляем числа как степени двойки. Вспоминаем, что:
$\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{−5}$
Подставляем это в наше уравнение:
$2^{−5} = 2^{−\frac{t}{3}}$ - Приравниваем показатели степеней. Поскольку основания степеней равны (число 2), мы можем приравнять их показатели:
$−5 = −\frac{t}{3}$
Шаг 4: Находим неизвестное t
Решаем простое линейное уравнение: $-5 = −\frac{t}{3}$
Умножаем обе части на 3: $−15 = −t$
Умножаем обе части на −1: $t = 15$
Ответ: масса изотопа будет равна 3 мг через 15 минут.
Алгоритм решения подобных задач на ЕГЭ
- Внимательно прочитай условие. Выпиши все известные величины и чётко определи, что нужно найти.
- Подставь данные в формулу. Получи показательное уравнение.
- Упрости уравнение. Цель — привести его к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Перенеси все слагаемые в одну сторону.
Раздели на коэффициент перед показательной функцией.
Постарайся представить все числа как степени с нужным основанием (чаще всего это 2, 3, 5, 10 или основание натурального логарифма e). - Приравняй показатели. Если $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, то f(x) = g(x) (при условии, что a > 0 и a ≠ 1).
- Реши полученное (обычно более простое) уравнение. Найди искомую переменную.
- Запиши ответ. Не забудь проверить размерность (минуты, часы, годы и т. д.).
Заключение
Задачи на радиоактивный распад — лишь один пример применения показательных функций. Аналогичные уравнения встречаются в задачах на банковские проценты (сложный процент), в простых уравнениях первой части и сложных из второй. Понимание общего алгоритма их решения — залог успешного выполнения заданий из ЕГЭ по математике профильного уровня. Регулярная практика в решении таких задач поможет уверенно справиться с ними на экзамене.
