Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Система симметрична относительно замены $x\mapsto-x$, поэтому при единственном решении обязательно $x=0$.
Тогда $y=\pm1$, а первое уравнение даёт $7=3y+3a$. Получаем кандидаты $a=\dfrac{4}{3}$ и $a=\dfrac{10}{3}$.
При $a=\dfrac{4}{3}$:
$y=2^{|x|}+\dfrac{5}{3}\bigl(|x|-x^2\bigr)$.
На окружности $|x|\le1$, поэтому правая часть не меньше $1$. Следовательно, $y=1$, откуда $x=0$. Решение единственно.
При $a=\dfrac{10}{3}$ кроме $(0,-1)$ решениями являются $(1,0)$ и $(-1,0)$, поэтому это значение не подходит.
Ответ: $\left\{\dfrac{4}{3}\right\}$