Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Преобразуем $(x+5)^{2} +y^{2} -a^{2} =0\Rightarrow ( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}$ - мы получили уравнение окружности с центром в точке $(-5;0)$ и радиусом $|a|$. Мы помним, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.  

Пропишем ОДЗ: $9-x^{2} -y^{2}  >0\\ x^{2} +y^{2} < 3^{2}$

Изобразим полученную в ОДЗ окружность пунктирной линией. Например, возьмем $a=1,( x+y)^{2} +y^{2} =a^{2}$ - данная окружность будет решением обоих уравнений. Получается $a$ не может быть равно $1$ или $-1$. Все, что является частью $( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}$ и лежит внутри ОДЗ - и есть решением системы уравнений и имеет бесконечное множество решений, это нам тоже не подходит. Следовательно, нам нужны такие радиусы, чтобы окружности $( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}$ не попадали внутрь.

ОДЗ. Получается $r\leq 2;r\geq 8$, значит: $\begin{cases} |a|\leq 2\\ |a|\geq 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in [ -2;2]\\ a\in ( -\infty ;8] \cup [ 8;+\infty ) \end{cases} \Leftrightarrow a\in ( -\infty ;8] \cup [ -2;2] \cup [ 8;+\infty )$

тогда: $\begin{cases} \ln( 9-x^{2} -y^{2}) =0\\ x+y-a+5=0 \end{cases}$

Эта система должна иметь два различных решения: $\begin{cases} 1=9-x^{2} -y^{2}\\ y=x+a-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2} +y^{2} =8-это~ окружность~ с~центром~ ( 0;0)~ и~ радиусом~ \sqrt{8}\\ y=-x+a-5-это~ задает~ множество~ прямых~ с~ тангенсом~ угла~ наклона~ -1 \end{cases}$

Изобразим эту окружность (на рисунке выделена желтым). Решение будет между двумя касательными к этой окружности. Проведем радиус к касательной и опустим из этой точки перпендикуляр на ось $x$.

Мы знаем, что радиус равен $\sqrt{8}$, значит мы можем найти точки касания:
$x^{2} +x^{2} =8\\ 2x^{2} =8\\ x^{2} =4\\ x=2$
Значит, координаты этой точки $(2;2)$, координаты второй точки касания $(-2;-2)$. Выразим из уравнения $a$.

Для этого подставим полученные значения в уравнение: $a=x+y+5\Rightarrow a=2+2+5\Rightarrow a=9\\ a=-2-2+5\Rightarrow a=1$

Два решения - это два пересечения прямой окружности, которые будут получаться при $a\in ( 1;9)$.
Значит, $a\in ( 1;9)$, но нужно учитывать полученные ранее ограничения. Получается, $a\in ( 1;2] \cup [ 8;9)$.

Ответ: $a\in ( 1;2] \cup [ 8;9)$.