Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.
Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \sqrt{7x-4} =0\\ x^{2} -8x+17-a^{2} > 0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4}{7}\\ x^{2} -8x+17-a^{2} > 0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4}{7}\\ \frac{625}{49} > a^{2} \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4}{7}\\ -\frac{25}{7} < a < \frac{25}{7} \end{array} \right. \end{array}$
Когда равен нулю второй множитель:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ \ln\left( x^{2} -8x+17-a^{2}\right) =0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ x^{2} -8x+17-a^{2} =1 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ ( x-4)^{2} -a^{2} =0 \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq \frac{4}{7}\\ ( x-4-a)( x-4+a) =0 \end{array} \right. \end{array}$
Получаем корни $x=4-a$ или $x=4+a$. Первый существует при $4-a\geq \frac{4}{7}\Leftrightarrow a\leq \frac{24}{7}$ и принадлежит отрезку $[0; 4]$ при $0\leq 4-a\leq 4\Leftrightarrow 0\leq a\leq 4$, а второй при $4+a\geq \frac{4}{7}\Leftrightarrow a\geq -\frac{24}{7}$ и лежит на нужном интервале при $0\leq 4+a\leq 4\Leftrightarrow -4\leq a\leq 0$. То есть первый корень подходит нам при $0\leq a\leq \frac{24}{7}$, а второй -- при $-\frac{24}{7}\leq a\leq 0$.
Проверим совпадение корней:
$\displaystyle \begin{array}{l} 4-a=4+a\Leftrightarrow a=0 \\ 4-a=\frac{4}{7}\Leftrightarrow a=\frac{24}{7} \\ 4+a=\frac{4}{7}\Leftrightarrow a=-\frac{24}{7} \end{array}$

Итого нам подходят промежутки $\left(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}\right]$ и $\left[\frac{24}{7};\frac{25}{7}\right)$.

Ответ: $\left(-\frac{25}{7};-\frac{24}{7}\right]\cup \left[\frac{24}{7};\frac{25}{7}\right)$.