Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

$|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}\\ |x-a||x+a|-|x+a|\sqrt{x^2-4ax+5a}=0\\ |x-a|\left(|x+a|-\sqrt{x^2-4ax+5a}\right)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} |x-a|=0\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases}\\ |x+a|-\sqrt{x^{2} -4ax+5a} =0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x=a\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases}\\ |x+a|=\sqrt{x^{2} -4ax+5a} \end{array} \right.$
Решим отдельно систему:
$\displaystyle \begin{cases} x=a\\ x^{2} -4ax+5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ a^{2} -4a^{2} +5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ -3a^{2} +5a\geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=a\\ a( 5-3a) \geq 0 \end{cases}$

Получаем: при $x=a, a\in \left[0;\frac{5}{3}\right]$
 
Решим уравнение $|x+a|=\sqrt{x^2-4ax+5a}$
$x^2+2ax+a^2=x^2-4ax+5a\\ a^2+6ax-5a=0\\ x=\frac{5a-a^2}{6a}$
Если $a=0$, то $x\in R$
$x=\frac{5-a}{6}$
Найдем совпадение корней:
$a=\frac{5-a}{6}\\ 6a=5-a\\ 7a=5$
При $a=\frac{5}{7}$ корни совпадают.

Получаем:
При $a\leq 0$ одно решение.
При $0<a<\frac{5}{7}$ два различных решения.
При $a=\frac{5}{7}$ одно решение.
При $\frac{5}{7}<a\leq\frac{5}{3}$ два различных решения.
При $a>\frac{5}{3}$ одно решение.
 
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при $a\in\left(0,\frac{5}{7}\right)\cup (\frac{5}{7};\frac{5}{3}]$.

Ответ: $\left(0,\frac{5}{7}\right)\cup (\frac{5}{7};\frac{5}{3}]$.