Задание 19 ЕГЭ по математике профильной

Преобразуем исходную систему, раскрыв модуль и наложив необходимые ограничения:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 2x-2y-2=|x^{2} +y^{2} -1|\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} -1\geq 0\\ 2x-2y-2=x^{2} +y^{2} -1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} -1< 0\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} \geq 1\\ x^{2} -2x+1+y^{2} +2y+1=1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} < 1\\ x^{2} +2x+1+y^{2} -2y+1=5 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} \geq 1\\ ( x -1)^{2} +( y+1)^{2} =1^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ ( 1) \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x^{2} +y^{2} < 1\\ ( x+ 1)^{2} +( y-1)^{2} =\left(\sqrt{5}\right)^{2} \ ( 2) \end{array} \right. \end{array} \right.\\ y=a( x-1) \end{array} \right. \end{array}$
Для дальнейшего решения полученной системы используем графический метод. На координатной плоскости изобразим полученные решения с учётом ограничений. Уравнение (1) описывает окружность (1) с центром в точке $(1;-1)$ и радиусом $1$, а уравнение (2) – окружность (2) с центром в точке $(-1;1)$ и радиусом $\sqrt{5}$:

В свою очередь ограничение $x^2+y^2 < \: > 1$ на графике можно представить как окружность $x^2+y^2=1$ (с центром в точке $(0;0)$ и радиусом $1$). Тогда для окружности (1) в решении
следует рассматривать только ту часть, которая находится вне окружности, изображающей ограничение ($x^2+y^2\geq 1$). А для окружности (2) – часть, которая находится внутри окружности, изображающей ограничение ($x^2+y^2<1$). Таким образом, графическое представление первого уравнения исходной системы будет выглядеть так:

Найдём координаты точек пересечения окружностей. Для этого решим систему, состоящую из уравнений для этих окружностей:
$\displaystyle \begin{cases} ( x-1)^{2} +( y+1)^{2} =1^{2}\\ ( x+1)^{2} +( y-1)^{2} =\left(\sqrt{5}\right)^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x-2y-2=x^{2} +y^{2} -1\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{cases}$
Сложим первое уравнения со вторым:
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} 4x-4y-4=0\\ 2x-2y-2=-x^{2} -y^{2} +1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-y=1\\ x^{2} +2x+y^{2} -2y-3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ x^{2} +2x+( x-1)^{2} -2( x-1) -3=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ 2x^{2} -2x=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ x( x-1) =0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=x-1\\ \left[ \begin{array}{l} x=0\\ x=1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=-1 \end{array} \right.\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=0 \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array}$
Таким образом, окружности пересекаются в точке $A(1;0)$ и точке $B(0;-1)$.
 
График второго уравнения исходной системы $y=a(x-1)$ представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $A(1;0)$, с коэффициентом наклона, равным $a$.
 
Чтобы исходная система имела более двух решений, прямая $y=a(x-1)$ должна иметь более двух точек пересечения с кривой, представляющей первое уравнение исходной системы. Найдём количество пересечений при различных значениях $a$.

При $a\rightarrow -\infty$ прямая $y=a(x-1)$ стремится слиться прямой, проходящей через точку $A(1;0)$ параллельно оси $OY$.
При $a\in (-\infty;0)$ прямая $y=a(x-1)$ имеет два пересечения с кривой представляющей первое уравнение исходной системы. То есть исходная система имеет 2 решения.
При $a=0$ прямая $y=a(x-1)$ совпадает с осью $OX$ и имеет одно пересечение (точка $A(1;0)$). То есть система имеет 1 решение. 
При $a>0$ прямая $y=a(x-1)$ имеет одно пересечение (точка $A(1;0)$). Такая ситуация сохранится до момента прохождения прямой $y=a(x-1)$ через точку $B(0;-1)$. В этом случае точек пересечения будет две. Значит, и система будет иметь 2 решения. Найдём значение параметра $a$ в точке $B(0;-1)$:
$-1=a(0-1)\\ a=1$
При $a>1$ точек пересечения станет 3:

Так будет продолжаться по тех пор, пока прямая $y=a(x-1)$ не превратится в касательную для окружности (2).
 
При дальнейшем увеличении параметра $a$ точек пересечения снова станет две. То есть исходная система будет иметь 2 решения.
 
Таким образом, более двух решений исходная система будет иметь при значении параметра $a$ от 1 до значения коэффициента наклона касательной для окружности (2) в точке $A(1;0)$. Найдём это значение коэффициента наклона. То, что прямая $y=a(x-1)$ является касательной для окружности (2), означает, что прямая, содержащая радиус окружности (2), проведённый через точку $A(1;0)$, должна быть перпендикулярна к касательной, проходящей через эту точку.

Одна из прямых пучка $y=a(x-1)$ будет содержать радиус окружности (2) и проходить через центр этой окружности с координатами $(-1;1)$:
$1=a(-1-1)\\ a=-\frac{1}{2}$
Значит, коэффициент наклона прямой, содержащей радиус к точке касания, равен $-\frac{1}{2}$. Тогда коэффициент наклона перпендикулярной прямой:
$-\frac{1}{2}\cdot a=-1\\ a=2$
Таким образом, более двух решений исходная система будет иметь при $a\in (1;2)$.

Ответ: $a\in (1;2)$.